本系列是这本算法教材的扩展资料：《算法竞赛入门到进阶》(京东 当当 ) 清华大学出版社
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有一类DP状态方程，例如：
(dp[i] = min{dp[j] - a[i]*d[j]}) (0≤j<i，d[j]≤d[j+1], a[i]≤ a[i+1])
它的特征是存在一个既有(i)又有(j)的项(a[i]*d[j])。
编程时，如果简单地对(i)和(j)循环，复杂度是(O(n^2))的。
通过斜率优化（英文convex hull trick，凸壳优化），把时间复杂度优化到(O(n))。
斜率优化的核心技术是斜率（凸壳）模型和单调队列。
1. 把状态方程变换为平面的斜率问题
方程对某个固定的(i)，求(j)变化时(dp[i])的最优值，所以可以把关于(i)的部分看成固定值，把关于(j)的部分看成变量。把(min)去掉，方程转化为：
(dp[j] = a[i]*d[j] + dp[i])
为方便观察，令：(y = dp[j])，(x = d[j])，(k = a[i])，(b = dp[i])，方程变为：
(y = kx + b)
斜率优化的数学模型，就是把状态转移方程转换为平面坐标系直线的形式：(y = kx + b)。其中：
（1）变量(x)、(y)和(j)有关，并且只有(y)中包含(dp[j])。点((x, y))是题目中可能的决策。
（2）斜率(k)、截距(b)与(i)有关，并且只有(b)中包含(dp[i])。最小的(b)包含最小的(dp[i])，也就是状态方程的解。
注意应用斜率优化的2个条件：(x)和(k)是单调增加的，即(x)随着(j)递增而递增，(k)随着(i)递增而递增。
2. 求一个dp[i]
先考虑固定(i)的情况下求(dp[i])。由于(i)是定值，那么斜率(k = a[i])可以看成常数。当(j)在(0≤j<i)内变化时，对某个(j_r)，产生一个点(v_r=(x_r, y_r))，这个点在一条直线(y = kx + b_r)上，(b_r)是截距。如图1。
对于(0≤j<i)中所有的(j)，把它们对应的点都画在平面上，这些点对应的直线的斜率(k= a[i])都相同，只有截距(b)不同。在所有这些点中，有一个点(v')所在的直线有最小截距(b')，算出(b')，由于(b')中包含(dp[i])，那么就算出了最优的(dp[i])。如图2。
如何找最优点(v')？利用“下凸壳”。
前面提到，(x)是单调增加的，即(x)随着(j)递增而递增。图3(1)中给出了了4个点，它们的(x)坐标是递增的。
图3(1)中的1、2、3构成了“下凸壳”，“下凸壳”的特征是线段12的斜率小于线段23的斜率。2、3、4构成了“上凸壳”。经过上凸壳中间点3的直线，其截距b肯定小于经过2或4的有相同斜率的直线的截距，所以点3肯定不是最优点，去掉它。
去掉“上凸壳”后，得到图3(2)，留下的点都满足“下凸壳”关系。最优点就在“下凸壳”上。例如在图3(3)中，用斜率为(k)的直线来切这些点，设线段12的斜率小于(k)，24的斜率大于(k)，那么点2就是“下凸壳”的最优点。
以上操作用单调队列编程很方便。
（1）进队操作，在队列内维护一个“下凸壳”，即每2个连续点组成的直线，其斜率是单调上升的。新的点进队列时，确保它能与队列中的点一起仍然能够组成“下凸壳”。例如队列尾部的2个点是(v_1)、(v_2)，准备加入队列的新的点是(v_3)。比较(v_1)、(v_2)、(v_3)，看线段(v_1v_2)和(v_2v_3)的斜率是否递增，如果是，那么(v_1)、(v_2)、(v_3)形成了“下凸壳”；如果斜率不递增，说明(v_2)不对，从队尾弹走它；然后继续比较队列尾部的2个点和(v_3)；重复以上操作，直到(v_3)能进队为止。经过以上操作，队列内的点组成了一个大的“下凸壳”，每2个点组成的直线，斜率递增，队列保持为单调队列。
（2）出队列，找到最优点。设队头的2个点是(v_1)、(v_2)，如果线段(v_1v_2)的斜率比(k)小，说明(v_1)不是最优点，弹走它，继续比较队头新的2个点，一直到斜率大于(k)为止，此时队头的点就是最优点(v')。
3. 求所有的dp[i]
以上求得了一个(dp[i])，复杂度(O(n))。如果对所有的(i)，每一个都这样求(dp[i])，总复杂度仍然是(O(n^2))的，并没有改变计算的复杂度。有优化的方法吗？
一个较小的(i_1)，它对应的点是{(v_0, v_1, ..., v_{i1})}；一个较大的(i_2)，对应了更多的点{(v_0, v_1, ..., v_{i1}, ..., v_{i2})}，其中包含了(i_1)的所有点。当寻找(i_1)的最优点时，需要检查{(v_0, v_1, ..., v_{i1})}；寻找i2的最优点时，需要检查{(v_0, v_1, ..., v_{i1}, ..., v_{i2})}。这里做了重复的检查，并且这些重复是可以避免的。这就是能优化的地方，仍然用“下凸壳”进行优化。
（1）每一个(i)所对应的斜率(k_i = a[i])是不同的，根据约束条件(a[i]≤ a[i+1])，当(i)增大时，斜率递增。
（2）前面已经提到，对一个(i_1)找它的最优点的时候，可以去掉一些点，即那些斜率比(k_{i1})小的点。这些被去掉的点，在后面更大的(i_2)时，由于斜率(k_{i2})也更大，肯定也要被去掉。
根据（1）和（2）的讨论，优化方法是：对所有的(i)，统一用一个单调队列处理所有的点；被较小的(i_1)去掉的点，被单调队列弹走，后面更大的(i_2)不再处理它们。
因为每个点只进入一次单调队列，总复杂度(O(n))。
下面的代码演示了以上操作。
//q[]是单调队列，head指向队首，tail指向队尾，slope()计算2个点组成的直线的斜率
for(int i=1;i<=n;i++){
while(head<tail && slope(q[head],q[head+1])<k) //队头的2个点斜率小于k
head++; //不合格，从队头弹出
int j = q[head]; //队头是最优点
dp[i] = ...; //计算dp[i]
while(head<tail && slope(i,q[tail-1])<slope(q[tail-1],q[tail])) //进队操作
tail--; //弹走队尾不合格的点
q[++tail] = i; //新的点进队列
}
为加深对上述代码的理解，考虑一个特例：进入队列的点都符合“下凸壳”特征，且这些点组成的直线的斜率大于所有的斜率(k_i)，那么结果是：队头不会被弹出，进队的点也不会被弹出，队头被重复使用(n)次。
4. 例题
下面用一个例题给出典型代码。
HDU 3507 Print Article http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3507
题目描述：打印一篇包含N个单词的文章，第i个单词的打印成本为Ci。在一行中打印k个单词的花费是 ，M是一个常数。如何安排文章，才能最小化费用？
输入：有很多测试用例。对于每个测试用例，第一行中都有两个数字N和M（0≤n≤500000，0≤M≤1000）。然后，在接下来的2到N + 1行中有N个数字。输入用EOF终止。
输出：一个数字，表示打印文章的最低费用。
样例输入：
5 5
5
9
5
7
5
样例输出：
230
题目的意思是：有(N)个数和一个常数(M)，把这(N)个数分成若干部分，每一部分的计算值为这部分数的和的平方加上(M)，总计算值为各部分计算值之和，求最小的总计算值。由于(N)很大，(O(N^2))的算法超时。
设(dp[i])表示输出前(i)个单词的最小费用，DP转移方程：
(dp[i] = min{dp[j] + (sum[i]-sum[j])2 + M}) (0<j<i)
其中(sum[i])表示前(i)个数字和。
下面把DP方程改写为(y = kx + b)的形式。首先展开方程：
(dp[i] = dp[j] + sum[i]*sum[i] + sum[j]*sum[j] - 2*sum[i]*sum[j] + M)
移项得：
(dp[j] + sum[j]*sum[j] = 2*sum[i]*sum[j] + dp[i]-sum[i]*sum[i] - M)
对照(y = kx + b)，有：
(y = dp[j] + sum[j]*sum[j])，(y)只和(j)有关。
(x = 2*sum[j])，(x)只和(j)有关，且随着(j)递增而递增。
(k = sum[i])，(k)只和(j)有关，且随着(i)递增而递增。
(b = dp[i] - sum[i]*sum[i] - M)，(b)只和i有关，且包含(dp[i])。
下面给出代码。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 500010;
int dp[MAXN];
int q[MAXN]; //单调队列
int sum[MAXN];
int X(int x){ return 2*sum[x]; }
int Y(int x){ return dp[x]+sum[x]*sum[x]; }
//double slope(int a,int b){return (Y(a)-Y(b))/(X(a)-X(b));} //除法不好，改成下面的乘法
int slope_up (int a,int b) { return Y(a)-Y(b);} //斜率的分子部分
int slope_down(int a,int b) { return X(a)-X(b);} //斜率的分母部分
int main(){
int n,m;
while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&sum[i]);
sum[0] = dp[0] = 0;
for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]+=sum[i-1];
int head=1,tail=1; //队头队尾
q[tail]=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
while(head<tail &&
slope_up(q[head+1],q[head])<=sum[i]*slope_down(q[head+1],q[head]))
head++; //斜率小于k，从队头弹走
int j = q[head]; //队头是最优点
dp[i] = dp[j]+m+(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j]); //计算dp[i]
while(head<tail &&
slope_up(i,q[tail])*slope_down(q[tail],q[tail-1])
<= slope_up(q[tail],q[tail-1])*slope_down(i,q[tail]))
tail--; //弹走队尾不合格的点
q[++tail] = i; //新的点进队尾
}
printf("%d
",dp[n]);
}
return 0;
}
5. 习题
（1）洛谷P3195 玩具装箱 https://www.luogu.com.cn/problem/P3195
DP方程：(dp[i]=min{dp[j]+(sum[i]+i−sum[j]−j−L−1)^2})
（2）洛谷4072 SDOI2016征途 https://www.luogu.com.cn/problem/P4072
二维斜率优化，DP方程：(dp[i][p]=min{dp[j][p−1]+(s[i]−s[j])^2})