（2018全国联赛解答最后一题）在平面直角坐标系$xOy$中，设$AB$是抛物线$y^2=4x$的过点$F(1,0)$的弦，$Delta{AOB}$的外接圆交抛物线于点$P$（不同于点$A,O,B$），若$PF$平分$angle{APB}$，求$|PF|$所有可能值。
解答：不妨设$AO:y=kx(k>0)$,联立方程$y=kx,y^2=4x$得$A(dfrac{4}{k^2},dfrac{4}{k})$
$AB:y=dfrac{frac{4}{k}}{frac{4}{k^2}-1}(x-1);$联立方程：$y=dfrac{frac{4}{k}}{frac{4}{k^2}-1}(x-1),y^2=4x$
得$ky^2+(k^2-4)y-4k=0$得$y_B=-k, herefore B(dfrac{k^2}{4},-k)$
由于OBAP四点共圆，故$k_{BP}=-k$（注：此性质见MT【125】)即:$dfrac{y_p+k}{x_P-frac{k^2}{4}}=dfrac{y_p+k}{frac{y_P}{4}-frac{k^2}{4}}=-k$
得$P(dfrac{(k^2-4)^2}{4k^2},dfrac{k^2-4}{k})$,
由题意$PF$平分$angle{APB}$故$dfrac{AP}{BP}=dfrac{AF}{BF}=dfrac{y_A}{y_B}$代入坐标
得$$dfrac{left(dfrac{(k^2-4)^2}{4k^2}-dfrac{4}{k^2} ight)^2+left(dfrac{k^2-4}{k}-dfrac{4}{k} ight)^2}{left(dfrac{(k^2-4)^2}{4k^2}-dfrac{k^2}{4} ight)^2+left(dfrac{k^2-4}{k}+k ight)^2}=left(dfrac{frac{4}{k}}{-k} ight)^2$$
记$t=k^2>0$化简得：$t^3(t-8)^2(16+t)=32^2(t-2)^2(t+1)$即$(t-4)(t+4)(t^2-12t-16)(t^2+12t-16)=0$,故$t_1=4,t_2=2(sqrt{13}-3)$,
当$t=4$时$P(0,0)$舍去
当$t=2(sqrt{13}-3)$时，$|PF|=x_P+1=sqrt{13}-1$