[BZOJ1010][HNOI2008]玩具装箱toy 解题报告

Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.　　

　　显然比之前在POJ上做的两道题简单很多...

　　就是最普通的斜率优化DP，只是将式子化开的过程因为带有平方所以可能稍微复杂一点...

　　　b[i] = i+∑ c[j](1<=j<=i)

　　（f[j]+b[j]²-f[k]-b[k]²）/(b[j]-b[k])<2*(b[i]-b[j]-L-1)

　　　f[i]=f[j]+(b[i]-b[j]-(L+1))²

　　一次性AC！

program bzoj1010;
const maxn=500010;
var i,j,head,tail,n,l:longint;
    f,opt,s,b:array[-1..maxn]of int64;

function g(j,k:longint):extended;
begin
    exit((f[j]+sqr(b[j])-f[k]-sqr(b[k]))/(b[j]-b[k]));
end;

begin
    readln(n,l);
    for i:=1 to n do readln(s[i]);
    for i:=2 to n do inc(s[i],s[i-1]);
    for i:=1 to n do b[i]:=i+s[i];b[0]:=0;
    head:=1;tail:=1;opt[1]:=0;f[0]:=0;
    for i:=1 to n do
    begin
        while (head<tail)and(g(opt[head],opt[head+1])<2*b[i]-2*l-2) do inc(head);
        j:=opt[head];
        f[i]:=f[j]+sqr(b[i]-b[j]-(L+1));
        while (head<tail)and(g(opt[tail],opt[tail-1])>g(i,opt[tail])) do dec(tail);
        inc(tail);opt[tail]:=i;
    end;
    writeln(f[n]);
end.