浅入浅出数据结构（16）——插入排序

　　从这一篇博文开始，我们将开始讨论排序算法。所谓排序算法，就是将给定数据根据关键字进行排序，最终实现数据依照关键字从小到大或从大到小的顺序存储。而这篇博文，就是要介绍一种简单的排序算法——插入排序（Insertion Sort）。

　　为了使精力专注于排序算法本身，而不是对数据的分析、处理，若无特殊说明，我们每一篇介绍排序算法的博文，均做如下假定：

　　1.数据存储于一个数组之中，且数据个数N即数组大小

　　2.数据类型即int

　　3.排序目标为从小到大

 

 

　　那么，插入排序是怎样的算法呢？其实插入排序的思想来源就是“插队”。

　　首先我们想象一下这个现实场景：有一个长度为n的队伍，队伍中每个人都比前面的人要高，你是新来的第n+1个人，现在位于队尾，请问你该怎么找到自己应处的位置，以使得队伍保持原有顺序（从矮到高）？

　　这个问题所有人都会解，那就是：我与前一个人比较，若我更矮，则我站到他前面，持续此比较直至我比我前面的人高或同样高，或者我来到第一名为止。

　　这个问题的解法，就是插入排序的根本。

 

　　现在我们将场景转换到数组中：有一个大小为n的int型数组a，a[0]至a[n-2]已按从小到大排好序，但是第a[n-1]即最后一个元素是“新来的”，现在要将新元素放到正确的位置上，以使得数组保持从小到大的顺序，该怎么做？

　　同样的，我们令新元素不断地与前一个元素比较，若小于前一个元素则两者交换位置，直至新元素大于等于前一个元素，或新元素到达a[0]时停止。

void unfinishedInsertionSort(int *a, unsigned int n)
{
    //“新元素”的当前位置CurrentPosition从N-1开始//只要新元素尚未到达a[0]，且前一个元素小于新元素，则不断地令新元素与前一个元素交换位置
    for (int CurPos = n - 1;CurPos != 0 && a[CurPos - 1] > a[CurPos];--CurPos)
        swap(&a[CurPos], &a[CurPos - 1]);
}

　　上述想法就是插入排序的雏形：若元素X_n前面的X₀到X_n-1均已排好序，那么X_n只需要不断地向前“插入”，直至前一个元素与X_n的大小关系符合顺序，或X_n到达第一个位置即可完成排序。

 

 

　　不难发现，雏形中尚待解决的问题就是：如何令X_n前面的所有元素排好顺序？

　　这个问题可以尝试用递归的想法解决：要令X_n排好序，就需要令X₀到X_n-1有序，而要令X_n-1排好序，则需要令X₀到X_n-2有序……最后会发现，要想令X₁排好序，则需要令X₀到X₀有序，而X₀到X₀一定是有序的，因为只有一个元素，也就是说此刻递归的基准情形出现了，而根据X₀到X₀的有序，可以得到X₀到X₁的有序，X₀到X₂的有序，直至得到X₀到X_n-1的有序，也就有了X₀到X_n的有序。因此这个递归的想法可行，而且这个想法就是插入排序从雏形到完整的解决思想。

　　

　　将上述想法与插入排序的雏形相结合后，我们就得到了插入排序的实现方法：设数组a有n个元素，令下标x从1递增至n-1，对于每个a[x]我们都执行一次“插队”操作（即插入排序的雏形操作）。

　　下面为插入排序的例程：

void InsertionSort(int *a, unsigned int size)
{
    int temp;    //temp用于暂存执行插入的元素的值，使用temp可以避免元素间的交换
    int CurPos;   //CurPos表示执行插入的元素当下所处的下标
    
    //StartPos表示执行插入操作的元素开始插入时的下标
    //令StartPos从1递增至size-1，对于每个a[StartPos]，我们执行向前插入的操作
    for (int StartPos = 1;StartPos < size;++StartPos) 
    {
        temp = a[StartPos];   
        for (CurPos = StartPos;CurPos != 0 && a[CurPos - 1] > temp;--CurPos)
            a[CurPos] = a[CurPos - 1];   //令前一个元素后移，相当于令当前元素前移，但循环结束后记得令temp执行真实的移动

        a[CurPos] = temp;
    }
}

　　计算插入排序的时间复杂度并不难，最坏的情况是数组中元素恰好完全反序，此时插入排序的内循环必然执行至CurPos==0为止，而外循环从StartPos=1至StartPos=size-1共size-1次，每一次内循环执行StartPos次，即内循环总共执行1+2+3+……+size-1次，即size(size-1)/2次，即O(n²)

 

 

　　大部分人在学习C语言时就接触过冒泡排序，所以我们将不再对冒泡排序进行介绍。从时间复杂度上看，插入排序和冒泡排序是一样的，都是O(n²)，但是在实际执行时，插入排序会比冒泡排序好得多，原因就是在数据“部分有序”时，插入排序可以减少很多比较次数，而冒泡排序的比较则是“固定的”。

　　举例来说，现有数据1,2,3,4,5,7,6。若插入排序则需比较7次，交换1次（元素2,3,4,5,7均一次比较即结束，元素6与7比较一次，交换，再与5比较一次，结束）。而冒泡排序则需比较6+5+4+3+2+1=21次，交换1次。

　　造成冒泡排序与插入排序间差异的主要原因就是：插入排序的比较“更充分地利用了已存在的顺序信息”，而冒泡排序无论如何都需要(N-1)+(N-2)+(N-3)+……+1次比较。其实在数据“接近有序”的情况下，插入排序几乎是最快的排序，完全有序的数据其只需要N-1次比较即结束排序。可以说在O(n²)这个级别的排序算法中，插入排序是绝对的首选。

　　不过我们再次回顾上述例子，会发现两个排序算法虽然需要的比较次数不同，但需要的交换次数却是相同的，即使你换一个数据序列，这两个排序算法需要的交换次数依然是一样多，这是为什么呢？我们下一篇博文将揭开这个秘密。

 

 

 

　　附：选择排序也是常见的初学排序算法，它需要的比较次数为N+N-1+N-2+……+2，比冒泡排序还要多N-1次，但是它的交换次数有可能比插入和冒泡都要少，比如数据5,4,3,2,1需按从小到大排序，若使用插入或冒泡排序，将需要10次交换，而选择排序的交换操作只需要2次。但是实际使用时插入排序依然比选择排序优先考虑，因为：

　　选择排序的“实质交换”虽然可以更少，但形式上来说，选择排序是固定执行N次交换的：每一趟我们都会找出当前最小元素然后将其交换至正确位置，所以肯定有N次交换。只不过会出现“当前元素恰好在正确位置上”的情况，从而没有“实质交换”罢了，但代价依然是有的，比如判断当前元素位置与目标位置是否不同，或直接执行自己与自己的交换。此外，在选出当前最小元素时，我们都认为是“比较操作”，然而实际上这里面混杂着很多赋值操作。而这些不起眼的操作都会使得选择排序没有理想的那么快。