Description
根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的:
第一天, 上帝创造了一个世界的基本元素,称做“元”。
第二天, 上帝创造了一个新的元素,称作“(alpha)”。“(alpha)被定义为“元”构成的集合。容易发现,一共有两种不同的“(alpha)”。
第三天, 上帝又创造了一个新的元素,称作“(eta)”。“(eta)”被定义为“(alpha)”构成的集合。容易发现,一共有四种不同的“(eta)”。
第四天, 上帝创造了新的元素“(gamma)”,“(gamma)”被定义为“(eta)”的集合。显然,一共会有(16)种不同的“(gamma)”。
如果按照这样下去,上帝创造的第四种元素将会有65536种,第五种元素将会有(2^{65536})种。这将会是一个天文数字。
然而,上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来,因此,日复一日,年复一年,他重复地创造着新的元素……
然而不久,当上帝创造出最后一种元素“( heta)”时,他发现这世界的元素实在是太多了,以致于世界的容量不足,无法承受。因此在这一天,上帝毁灭了世界。
至今,上帝仍记得那次失败的创世经历,现在他想问问你,他最后一次创造的元素“( heta)”一共有多少种?
上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来,因此你只需要回答这个数对(p)取模后的值即可。
你可以认为上帝从“(alpha)”到“( heta)”一共创造了(10^{9})次元素,或(10^{18})次,或者干脆(infty)次。
一句话题意:
Input
接下来(T)行,每行一个正整数(p),代表你需要取模的值
Output
(T)行,每行一个正整数,为答案对(p)取模后的值
Sample Input
3
2
3
6
Sample Output
0
1
4
HINT
对于(100\%)的数据,(T le 1000,p le 10^{7})
对于此题一个重要的定理:
当(b ge phi(c))
因为指数为无限项,恒有(b ge phi(c)),所以根据这个定理,我们就可以做题了。
令
则有
递归边界:
所以这题就可以做了。
~~我深深感觉到了自己数学的弱菜,只知道定理却不会用。恶补数学ing~~
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
map <int,int> M;
inline ll qsm(ll a,ll b,ll c)
{
ll ret = 1;
for (;b;b >>= 1,(a *= a)%=c)
if (b & 1) (ret *= a)%=c;
return ret;
}
inline ll phi(ll n)
{
ll ret = n;
for (ll i = 2;i*i <= n;++i)
{
if (n % i == 0)
{
while (n % i == 0) n /= i;
ret /= i; ret *= i-1;
}
}
if (n > 1) ret /= n,ret *= n-1;
return ret;
}
inline ll calc(ll n)
{
if (M.count(n)) return M[n];
ll p = phi(n);
return M[n] = qsm(2,calc(p)+p,n);
}
int main()
{
freopen("3884.in","r",stdin);
freopen("3884.out","w",stdout);
ll T; scanf("%lld",&T);
M[1] = 0;
while (T--)
{
ll n; scanf("%lld",&n);
printf("%lld
",calc(n));
}
fclose(stdin); fclose(stdout);
return 0;
}