数据结构（C语言版）-第5章 树和二叉树

5.1  树和二叉树的定义

树（Tree）是n（n≥0）个结点的有限集，它或为空树（n = 0）；或为非空树，对于非空树T：
（1）有且仅有一个称之为根的结点；
（2）除根结点以外的其余结点可分为m（m＞0）个互不相交的有限集T1, T2, …, Tm, 其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree）。

二叉树的定义

二叉树（Binary Tree）是n（n≥0）个结点所构成的集合，它或为空树（n = 0）；或为非空树，对于非空树T：
（1）有且仅有一个称之为根的结点；
（2）除根结点以外的其余结点分为两个互不相交的子集T1和T2，分别称为T的左子树和右子树，且T1和T2本身又都是二叉树。

为何要重点研究每结点最多只有两个 “叉” 的树？
二叉树的结构最简单，规律性最强；
可以证明，所有树都能转为唯一对应的二叉树，不失一般性。

5.2  案例引入

无

5.3  树和二叉树的抽象数据类型定义

CreateBiTree(&T,definition)
      初始条件；definition给出二叉树T的定义。
      操作结果：按definition构造二叉树T。

PreOrderTraverse(T)
      初始条件：二叉树T存在。
      操作结果：先序遍历T，对每个结点访问一次。
InOrderTraverse(T)
      初始条件：二叉树T存在。
      操作结果：中序遍历T，对每个结点访问一次。
PostOrderTraverse(T)
      初始条件：二叉树T存在。
      操作结果：后序遍历T，对每个结点访问一次。

5.4  二叉树的性质和存储结构

满二叉树是叶子一个也不少的树，而完全二叉树虽然前n-1层是满的，但最底层却允许在右边缺少连续若干个结点。满二叉树是完全二叉树的一个特例。

二叉树的顺序存储

实现：按满二叉树的结点层次编号，依次存放二叉树中的数据元素。

二叉树的链式存储

typedef struct BiNode{
   TElemType   data;
   struct  BiNode   *lchild,*rchild; //左右孩子指针
}BiNode,*BiTree;

typedef struct TriTNode
{  TelemType data;
   struct TriTNode *lchild,*parent,*rchild;
}TriTNode,*TriTree;

5.5  遍历二叉树和线索二叉树

遍历定义——指按某条搜索路线遍访每个结点且不重复（又称周游）。
遍历用途——它是树结构插入、删除、修改、查找和排序运算的前提，是二叉树一切运算的基础和核心。

遍历规则

口诀：
DLR—先序遍历，即先根再左再右
LDR—中序遍历，即先左再根再右
LRD—后序遍历，即先左再右再根

先序遍历算法

Status PreOrderTraverse(BiTree T){
  if(T==NULL) return OK; //空二叉树
  else{    
     cout<<T->data; //访问根结点
     PreOrderTraverse(T->lchild); //递归遍历左子树
     PreOrderTraverse(T->rchild); //递归遍历右子树
    }
}

中序遍历算法

Status InOrderTraverse(BiTree T){
  if(T==NULL) return OK; //空二叉树
  else{    
     InOrderTraverse(T->lchild); //递归遍历左子树
  cout<<T->data; //访问根结点
     InOrderTraverse(T->rchild); //递归遍历右子树
    }
}

后序遍历算法

Status PostOrderTraverse(BiTree T){
  if(T==NULL) return OK; //空二叉树
  else{    
     PostOrderTraverse(T->lchild); //递归遍历左子树
     PostOrderTraverse(T->rchild); //递归遍历右子树
     cout<<T->data; //访问根结点
    }
}

时间效率:O(n) //每个结点只访问一次
空间效率:O(n) //栈占用的最大辅助空间

二叉树的建立

void CreateBiTree(BiTree &T）{
cin>>ch;
if (ch==’#’)   T=NULL;      //递归结束，建空树
else{
    T=new BiTNode;    T-＞data=ch;                                      //生成根结点
    CreateBiTree(T-＞lchild);  //递归创建左子树
    CreateBiTree(T-＞rchild); //递归创建右子树
  }                                    
}

二叉树遍历算法的应用

int NodeCount(BiTree T){
  if(T == NULL ) return 0;               
  else return NodeCount(T->lchild)+NodeCount(T->rchild)+1;
}

int LeadCount(BiTree T){
     if(T==NULL)     //如果是空树返回0
        return 0;
    if (T->lchild == NULL && T->rchild == NULL)
        return 1; //如果是叶子结点返回1
    else return LeadCount(T->lchild) + LeadCount(T->rchild);
}

二叉链表空间效率这么低，能否利用这些空闲区存放有用的信息或线索？
——可以用它来存放当前结点的直接前驱和后继等线索，以加快查找速度。

线索化二叉树

先序线索二叉树

中序线索二叉树

后序线索二叉树

5.6  树和森林

树的存储结构－－二叉链表表示法

typedef struct CSNode{
  ElemType          data;
  struct CSNode     *firstchild,*nextsibling;
}CSNode,*CSTree;

树和森林的转换。。。

5.7  哈夫曼树及其应用

。。。。。