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  • 可积的判定(充分条件,必要条件)

    • 可积的充要条件,定义:积分和能否无限接近某一常数;

    1. 必要条件

    • 若函数 f 在 [a, b] 上可积,则 f 在 [a, b] 上必有界;
      反证法,逆否命题,无界 ⇒ 不可积;

    f 在 [a, b] 上无界,则对于 [a, b] 的任一分割 T,比存在属于 T 的某个小区间 ΔkfΔk 上无界,在 ik的各个小区间 Δk 上(区间内)任意取定 ξi,并记:

    G=ikf(ξi)Δxi

    现对任意大(不是无穷大,但要足够大)的正数 M,由于 fΔk 上无界(正无穷,负无穷),故存在 ξkΔk,使得:

    |f(ξk)|>M+GΔk

    右边那一块是构造出来的,

    于是有:

    inf(ξi)Δxi|f(ξk)Δk|iknf(ξi)Δxi=M+GG=M

    这与 f 在 [a, b] 上可积相矛盾,从而定理得证;

    可积函数一定有界,有界函数不一定可积(比如狄利克雷函数,全取有理数,全取无理数,趋于不同的值,1和0);
    有界是可积的必要条件。

    2. 充分条件

    references

    一、可积的必要条件_百度文库

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/mtcnn/p/9422843.html
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