【CF559C】 Gerald and Giant Chess（计数，方案数DP，数论）

题意：给出一个棋盘为h*w，现在要从(1,1)到(h,w)，其中有n个黑点不能走,问有多少种可能从左上到右下

       (1 ≤ h, w ≤ 105, 1 ≤ n ≤ 2000)，答案模10^9+7

思路：从(1,1)到(n,m)的方案数是c(n+m-2,n-1)

        考虑不能走黑点

        设dp[i]为从(1,1)走到(x[i],y[i])，中途没有走过任何一个黑点的方案数

        dp[i]=dp[i]-dp[j]*c(x[i]+y[i]-x[j]-y[j],x[i]-x[j]) (x[j]<=x[i]且y[j]<=y[i]) 

        除以阶乘取模用线性求逆元

       

const mo=1000000007;
var x,y:array[1..10000]of longint;
    dp:array[1..10000]of int64;
    exf,fac:array[0..200000]of int64;
    n,m,k,i,j:longint;

procedure swap(var x,y:longint);
var t:longint;
begin
 t:=x; x:=y; y:=t;
end;

function c(x,y:longint):int64;
begin
// if y=0 then exit(1);
 exit(fac[x]*exf[y] mod mo*exf[x-y] mod mo);
end;

procedure qsort(l,r:longint);
var i,j,mid1,mid2:longint;
begin
 i:=l; j:=r; mid1:=x[(l+r)>>1]; mid2:=y[(l+r)>>1];
 repeat
  while (mid1>x[i])or(mid1=x[i])and(mid2>y[i]) do inc(i);
  while (mid1<x[j])or(mid1=x[j])and(mid2<y[j]) do dec(j);
  if i<=j then
  begin
   swap(x[i],x[j]);
   swap(y[i],y[j]);
   inc(i); dec(j);
  end;
 until i>j;
 if l<j then qsort(l,j);
 if i<r then qsort(i,r);
end;

begin
// assign(input,'1.in'); reset(input);
 //assign(output,'1.out'); rewrite(output);
 readln(n,m,k);
 for i:=1 to k do read(x[i],y[i]);
 inc(k); x[k]:=1; y[k]:=1;
 inc(k); x[k]:=n; y[k]:=m;
 qsort(1,k);
 fac[0]:=1;
 for i:=1 to n+m do fac[i]:=fac[i-1]*i mod mo;
 exf[0]:=1; exf[1]:=1;
 for i:=2 to n+m do exf[i]:=exf[mo mod i]*(mo-mo div i) mod mo;
 for i:=1 to n+m do exf[i]:=exf[i-1]*exf[i] mod mo;
 dp[1]:=1;
 for i:=2 to k do
 begin
  dp[i]:=c(x[i]+y[i]-2,x[i]-1);
  for j:=2 to i-1 do
   if y[j]<=y[i] then
   begin
    dp[i]:=dp[i]-dp[j]*c(x[i]-x[j]+y[i]-y[j],x[i]-x[j]);
    dp[i]:=(dp[i] mod mo+mo) mod mo;
   end;
61  end;
 writeln(dp[k]);

 //close(input);
 //close(output);
end.