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| Gauss消元算法求解开关灯问题
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开关问题：有N个相同的开关，每个开关都与某些开关有着联系，每当你打开或者关闭某个开关的时候，其他的与 此开关相关联的开关也会相应地发生变化，即这些相联系的开关的状态如果原来为开就变为关，如果为关就变为开。
对于这类问题，巧妙的运用位运算和gauss算法可以高效的解决。
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开灯问题告诉N(N<=63)盏灯和M(M<=N)个开关,每个开关可以控制K(K<=N)盏灯，给定N盏灯的初始状态S和 要求通过开关控制得到的目标状态E，求可以达到目标状态的方案数。
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简单分析：对于每个开关，有按和不按两种选择（记为0/1）; 对于每盏灯有变和不变两种情况（0/1）,如果初态和终态不一样 ，那么这盏灯是一定要变化的。由此我们就可以得到一个0/1的矩阵：让N盏灯灯作为列向量，开关作为横向量，把每盏灯是否变化 作为第M列（由0开始）这样就得到一个N*(M+1)的矩阵,该矩阵有如下性质：
1. 如果N = M ，那么矩阵为增广矩阵。
2. 该矩阵相当于方程组A * X = B,因此可以求其解。
1. 若方程组有唯一解，那么，N = M (逆命题：如果M = N ,那么方程组有唯一解 不成立)
2. 若方程组无实数解，那么，该方程不可以化成严格上三角形式（具体的证明见相关资料，这里不再证明）
3. 若方程组有多接，即存在自由变元，因为每个自由变元可以取0/1两种情况，那么总共有2^m(m为变元数)解 (也就是不影响最后结果的自由开关的数目）
下面是经过验证的代码：
int getRow(int p, int q, int &row) {
for (int i = p; i < n; i++)
if (!zero(a[i][q])) return a[row=i][q];
return row=0;
}
void swapRow(int p, int row, int q) {
for (int k = q; k <= m; k++)
swap(a[p][k], a[row][k]);
}
i64 gauss() {
int i = -1, j = -1, k, p, q, ret, row;
while(++i < n && ++j < m) {
ret = getRow(i, j, row);
if (zero(ret)) { i--; continue;}
if (row != i) swapRow(i, row, j);
for (p = i+1; p < n; p++) if (a[p][j])
for (q = j; q <= m; q++)
a[p][q] ^= a[i][q];
}
for (k = i; k < n; k++) if(a[k][m]) return -1;
return (i64)1 << (m-i);
} //link: hdu3364 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3364
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开关问题：有N个相同的开关，每个开关都与某些开关有着联系，每当你打开或者关闭某个开关的时候， 其他的与此开关相关联的开关也会相应地发生变化，即这些相联系的开关的状态如果原来为开就变为关， 果为关就变为开。求： 1. 方案数（自由变元的数目） 2. 给定一个最少的开关方案
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这类问题是上面问题的一种简化：
对于问题一、可以直接套用上面的公式（N=M）
对于问题二、如果构造得到的方程组只有一个解，那么问题解决，这里主要讨论一下多解， 存在自由变元的情况。如果存在自由变元，我们就要枚举每个自由变元（0/1）然后比较选择最小。 枚举时间复杂度为2^m(m为自由变元的个数)
下面是简单的枚举自由元的算法。
int gans(int a[][maxn+1]) {
int i, j, ret = a[n-1][n];
for (i = n-2; i >= 0; i--) {
for (j = i+1; j < n; j++)
a[i][n] ^= a[i][j] && a[j][n];
ret += b[i][n];
}
return ret;
}
void dfs(int p, int k) {
if (p == k) {
memcpy(b, a, sizeof(b));
int ret = gans(b);
if (ret < ans) ans = ret;
return;
}
a[p][n] = 1; dfs(p-1, k);
a[p][n] = 0; dfs(p-1, k);
}
int gauss() { //……代码见上（n=m）……//
dfs(n-1, i-1);
return ans;
}
Link: pku_1222 http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=1222
pku_1681 http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=1681
pku_1753 http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=1753
pku_1830 http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=1830
pku_3185 http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=3185
hdu_2285 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2285
转自http://www.cppblog.com/Dragon521/archive/2010/05/26/gauss2.html?opt=admin