反对称矩阵的性质（秩、合同矩阵）

反对称矩阵的特有性质

反对称矩阵(A = -A^T)

１．不存在奇数级的可逆反对称矩阵.

２．反对称矩阵的主对角元素全为零.

３．反对称矩阵的秩为偶数

４．反对称矩阵的特征值成对出现（实反对称的特征值为０或纯虚数）

５．反对称矩阵的行列式为非负实数

６．设A为反对称矩阵，则A合同于矩阵

(D = egin{bmatrix} 0 & 1 & & & & & & \ -1 & 0 & & & & & & \ & & ddots & & & & & \ & & & 0 & 1 & & & \ & & & -1 & 0 & & & \ & & & & & 0 & & \ & & & & & & ddots & \ & & & & & & & 0 \ end{bmatrix})

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证明

数学归纳法可证6

因为Ａ为反对称矩阵，设

(A = egin{bmatrix} 0 & a_{12} & dots & a_{1n}\ -a_{12} & 0 & dots & a_{2n} \ vdots & vdots & ddots & vdots \ -a_{1n} & -a_{2n} & dots & 0 \ end{bmatrix})

(1)当ｎ= 1时 结论显然成立。

(2)当 n = 2时

若(a_{12} = 0)　结论显然也成立。
若$a_{12} ot=0 (，取 )U = egin{bmatrix}
0 & 1
-1 & a_{12}^{-1}
end{bmatrix}( 则有 )U^TAU =
egin{bmatrix}
0 & 1
-1 &0
end{bmatrix}$，
所以Ａ与Ｄ合同。

(3)假定对于阶数小于ｎ时反对称矩阵A合同于Ｄ

现证明对(n(n leq 3))的反对称矩阵A也合同于D
若Ａ的第一行全为０，则有
(A = egin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & B \ end{bmatrix})
其中Ｂ是n-1阶反对称矩阵，则存在n-1阶可逆矩阵Q与矩阵Ｄ，使得(Q^TBQ = D)
取(S = egin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & Q \ end{bmatrix})
则(S^TAS = egin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & Q^TBQ \ end{bmatrix})
再令(T = egin{bmatrix} 0 & 1 \ I_{n-1} & 0 \ end{bmatrix})
此处(I_{n-1}) 是n-1阶单位矩阵
有(T^TS^TAST = egin{bmatrix} Q^TBQ & 0 \ 0 & 0 \ end{bmatrix})
取(P=ST)，则有
(P^TAP = egin{bmatrix} Q^TBQ & 0 \ 0 & 0 \ end{bmatrix})
则Ａ合同于Ｄ

2.若矩阵Ａ的第一行不全为０)
(A = egin{bmatrix} 0 & a_{12} & dots & a_{1n} \ -a_{12} & & & \ vdots & & B & \ -a_{1n} & & & \ end{bmatrix})
不妨设(a_{12} ot= 0)，可对Ａ实施初等变换如下：
(A_2=Q_2^TAQ_2 = egin{bmatrix} a_{12}^{-1} & & & \ & 1 & & \ & & ddots & \ & & & 1 \ end{bmatrix} egin{bmatrix} 0 & a_{12} & dots & a_{1n} \ -a_{12} & & & \ vdots & & B & \ -a_{1n} & & & \ end{bmatrix} egin{bmatrix} a_{12}^{-1} & & & \ & 1 & & \ & & ddots & \ & & & 1 \ end{bmatrix} = egin{bmatrix} 0 & 1 & dots & a_{12}^{-1}a_{1n} \ -1 & & & \ vdots & & B_2 & \ -a_{12}^{-1}a_{1n} & & & \ end{bmatrix})
再取(Q_j = egin{bmatrix} 1 & & & & & \ & 1 & dots & -a_{12}^{-1}a_{1j} & dots & 0 \ & & ddots & & & \ & & & 1 & & \ & & & & ddots & \ & & & & & 1 \ end{bmatrix} qquad s.t. 3 leq j leq n)
可得(A_n = Q_n^T dots Q_3^TA_2Q_3 dots Q_n = egin{bmatrix} 0 & 1 & \ -1 & 0 & \ & & B_n \ end{bmatrix})
由于所作为对称式的变换，所以B_n依旧为反对称矩阵，所以存在n-2阶可逆矩阵S使得(S^TBS = egin{bmatrix} 0 & 1 & & & & & & \ -1 & 0 & & & & & & \ & & ddots & & & & & \ & & & 0 & 1 & & & \ & & & -1 & 0 & & & \ & & & & & 0 & & \ & & & & & & ddots & \ & & & & & & & 0 \ end{bmatrix})
令(Q = Q_2 dots Q_n)且(S' = egin{bmatrix} I_2 & 0 \ 0 & S \ end{bmatrix})，此处(I_2)为２阶单位矩阵
则有(Q^TS^TASQ = egin{bmatrix} 0 & 1 & & & & & & \ -1 & 0 & & & & & & \ & & ddots & & & & & \ & & & 0 & 1 & & & \ & & & -1 & 0 & & & \ & & & & & 0 & & \ & & & & & & ddots & \ & & & & & & & 0 \ end{bmatrix})
所以Ａ是Ｄ的合同矩阵。

引理

由上可知(A=UDU^T)，由于Ｕ为满秩（初等变换矩阵），所以Ａ的秩等于Ｄ的秩。
Ｄ的秩为偶数，所以Ａ的秩也为偶数，即，反对称矩阵的秩为偶数