鸡蛋地硬度

描述

最近XX公司举办了一个奇怪的比赛：鸡蛋硬度之王争霸赛。参赛者是来自世 界各地的母鸡，比赛的内容是看谁下的蛋最硬，更奇怪的是XX公司并不使用什么精密仪器来测量蛋的硬度，他们采用了一种最老土的办法--从高度扔鸡蛋--来 测试鸡蛋的硬度，如果一次母鸡下的蛋从高楼的第a层摔下来没摔破，但是从a+1层摔下来时摔破了，那么就说这只母鸡的鸡蛋的硬度是a。你当然可以找出各种 理由说明这种方法不科学，比如同一只母鸡下的蛋硬度可能不一样等等，但是这不影响XX公司的争霸赛，因为他们只是为了吸引大家的眼球，一个个鸡蛋从100 层的高楼上掉下来的时候，这情景还是能吸引很多人驻足观看的，当然，XX公司也绝不会忘记在高楼上挂一条幅，写上“XX公司”的字样--这比赛不过是XX 公司的一个另类广告而已。 
勤于思考的小A总是能从一件事情中发现一个数学问题，这件事也不例外。“假如有很多同样硬度的鸡蛋，那么我可以用二分的办法用最少的次数测出鸡蛋 的硬度”，小A对自己的这个结论感到很满意，不过很快麻烦来了，“但是，假如我的鸡蛋不够用呢，比如我只有1个鸡蛋，那么我就不得不从第1层楼开始一层一 层的扔，最坏情况下我要扔100次。如果有2个鸡蛋，那么就从2层楼开始的地方扔……等等，不对，好像应该从1/3的地方开始扔才对，嗯，好像也不一定 啊……3个鸡蛋怎么办，4个，5个，更多呢……”，和往常一样，小A又陷入了一个思维僵局，与其说他是勤于思考，不如说他是喜欢自找麻烦。 
好吧，既然麻烦来了，就得有人去解决，小A的麻烦就靠你来解决了：）

输入输入包括多组数据，每组数据一行，包含两个正整数n和m(1<=n<=100,1<=m<=10)，其中n表示楼的高度，m表示你现在拥有的鸡蛋个数，这些鸡蛋硬度相同（即它们从同样高的地方掉下来要么都摔碎要么都不碎），并且小于等于n。你可以假定硬度为x的鸡蛋从高度小于等于x的地方摔无论如何都不会碎（没摔碎的鸡蛋可以继续使用），而只要从比x高的地方扔必然会碎。
对每组输入数据，你可以假定鸡蛋的硬度在0至n之间，即在n+1层扔鸡蛋一定会碎。输出对于每一组输入，输出一个整数，表示使用最优策略在最坏情况下所需要的扔鸡蛋次数。样例输入

100 1
100 2

样例输出

100
14

提示最优策略指在最坏情况下所需要的扔鸡蛋次数最少的策略。
如果只有一个鸡蛋，你只能从第一层开始扔，在最坏的情况下，鸡蛋的硬度是100，所以需要扔100次。如果采用其他策略，你可能无法测出鸡蛋的硬度(比如你第一次在第二层的地方扔,结果碎了,这时你不能确定硬度是0还是1)，即在最坏情况下你需要扔无限次，所以第一组数据的答案是100。

这是典型的动态规划问题。假设f[n]表示从n层楼找到摔鸡蛋不碎安全位置的最少判断次数。假设第一个鸡蛋第一次从第i层扔下，如果碎了，就剩一个鸡蛋，为确定下面楼层中的安全位置，必须从第一层挨着试，还需要i-1次；如果不碎的话，上面还有n-i层，剩下两个鸡蛋，还需要f[n-i]次（子问题，实体n层楼的上n-i层需要的最少判断次数和实体n-i层楼需要的最少判断次数其实是一样的）。因此，最坏情况下还需要判断max(i-1,f[n-i])次。 

状态转移方程：f[n] = min{ 1+max(i-1,f[n-i]) | i=1..n }   初始条件: f[0]=0（或f[1]=1）

实际上，两个鸡蛋的情况用数学方程就可以解决，前提是你知道该怎么扔： 

一种想法是第一个鸡蛋折半搜索，如100层的楼，先从50层扔下去，如果碎了则第二个鸡蛋在1~49层楼中自底向上线性搜索；如果没碎则第一个鸡蛋再从75层扔。如果这次碎了则第二个鸡蛋在51~74层楼中自底向上线性搜索；如果还没碎则第一个鸡蛋再从88层扔，依此类推。这种方法不是最优，因为最坏情况下安全位置恰好是49层，需要尝试50次。 

正确的方法是先假设最少判断次数为x，则第一个鸡蛋第一次从第x层扔（不管碎没碎，还有x-1次尝试机会）。如果碎了，则第二个鸡蛋在1～x-1层中线性搜索，最多x-1次；如果没碎，则第一个鸡蛋第二次从x+(x-1)层扔（现在还剩x-2次尝试机会）。如果这次碎了，则第二个鸡蛋在x+1～x+(x-1)-1层中线性搜索，最多x-2次；如果还没碎第一个鸡蛋再从x+(x-1)+(x-2)层扔，依此类推。x次尝试所能确定的最高楼层数为x+(x-1)+(x-2)+...+1=x(x+1)/2。 

比如100层的楼，只要让x(x+1)/2>=100，得x>=14，最少判断14次。具体地说，100层的楼，第一次从14层开始扔。碎了好说，从第1层开始试。不碎的话还有13次机会，再从14+13=27层开始扔。依此类推，各次尝试的楼层依次为 

14  27 = 14 + 13  39 = 27 + 12  ...  99 = 95 + 4  100

现在推广成n层楼，m个鸡蛋： 

还是动态规划。假设f[n,m]表示n层楼、m个鸡蛋时找到摔鸡蛋不碎的最少判断次数。则一个鸡蛋从第i层扔下，如果碎了，还剩m-1个鸡蛋，为确定下面楼层中的安全位置，还需要f[i-1,m-1]次（子问题）；不碎的话，上面还有n-i层，还需要f[n-i,m]次（子问题，实体n层楼的上n-i层需要的最少判断次数和实体n-i层楼需要的最少判断次数其实是一样的）。 

状态转移方程：f[n,m] = min{ 1+max(f[i-1,m-1], f[n-i,m]) | i＝1..n }  初始条件：f[i,0]=0（或f[i,1]=i），对所有i  

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
int dp[1001][101];
int n,m;

int read()
{
    int k=0,f=1;
    char c=getchar();
    while(c>'9'||c<'0') {if(c=='-') f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') {k=k*10+(c-'0'); c=getchar();}
    return 0;
}
 

int main()
{
    freopen("lx.in","r",stdin);
    freopen("lx.out","w",stdout);
    int i,j,k;
    int n,m;
    
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
    for(i=1;i<=n;i++) 
       for(j=0;j<=m;j++) dp[i][j]=i;     
        
    for(j=1;j<=n;j++)    
      for(k=1;k<=j;k++)
         {
             for(i=2;i<=m;i++)
//             dp[j][i]=min(dp[j][i],max(dp[k][i-1],dp[j-k][i]+1));
            dp[j][i]=min(dp[j][i],max(dp[k-1][i-1],dp[j-k][i])+1);
         }
    
    cout<<dp[n][m]<<endl;
    }
    
    return  0;
}