引语
网络流是图论中一个博大精深的分支。其最主要的难点在于各种模型的建立，我们需要熟练掌握其中的算法模板并且充分理解其原理，积累建图经验，才能在遇到网络流的题目时从容应对。
本篇blog主要介绍网络流的基本概念，弄清楚这些概念、定理及理解其证明，对于后面的学习会颇有助益。
基本概念
流网络
一个流网络G=(V,E)是一张有向图，图中每条有向边(x,y)∈E都有一个给定的权值c(x,y)，称为边的容量。特殊地，若(x,y)不属于E，则c(x,y)=0。图中还有两个特殊的点s,t∈V(s≠t)，称为源点和汇点。
可行流
定义网络的流函数f：对于(x,y)∈E，f(x,y)称为边的流量。
对于任意一个可行流，需要满足两个条件：
①容量限制：0<=f(x,y)<=c(x,y)；
②流量守恒：除源点和汇点外，对于图中任意一个点，流入该点的流量之和等于从该点流出的流量之和；形式化地来看，即对于任意x∈V(x≠s,t)，∑f(y,x)=∑f(x,y)，其中(x,y),(y,x)∈E。
整个网络的流量值|f|=∑f(s,v)-∑f(v,s)，其中(s,v),(v,s)∈E。
最大流
最大流即最大可行流，指流网络的所有可行流中流量最大者。
残留网络
对于原网络的任意一个可行流，存在唯一残留网络与之对应。
我们用Gf表示残留网络，Gf=(V,E')，其中E'包含E中所有边及E中所有边的反向边。
残留网络中边的容量记为c'(x,y)。若(x,y)∈E，即(x,y)为原网络的边，则c'(x,y)=c(x,y)-f(x,y)，其中c(x,y)-f(x,y)被称为边(x,y)的剩余容量；若(x,y)不属于E，且(y,x)∈E，即(x,y)为原网络中某条边的反向边，则c'(x,y)=f(y,x)。
引理
记f'为残留网络的流。若f为流网络的一个可行流，f'为该可行流对应的残留网络的可行流，则f+f'也是原网络的一个可行流，且|f+f'|=|f|+|f'|。
证明：
要证f+f'是原网络一个可行流，只需考虑可行流需要满足的两个条件。
①容量限制：
新可行流中的边有两种情况，一种是由原可行流与残留网络中的可行流同向的边累加，一种是原可行流与残留网络中的可行流反向的边相减（前者减后者）。
(i) (x,y)∈E，f'(x,y)<=c'(x,y)=c(x,y)-f(x,y)，∴f'(x,y)+f(x,y)<=c(x,y)。形象来看，残留网络中的属于原网络的边的容量为原边的剩余容量，则即使该边满流，则其剩余容量加上原流量后必然也满足容量限制。
(ii)(y,x)∈E，0<=f'(x,y)<=c'(x,y)=f(y,x)<=c(y,x)，∴0<=f(y,x)-f'(x,y)<=c(y,x)。形象来看，残留网络中的反向边可以看成是原网络中的原边退流，即原网络中的边的流量减去一个值，而这个值是大于0的，所以只要原网络的边满足容量限制，则减去一个大于0的值后必然也满足容量限制。
②流量守恒：
由于f与f'分别满足流量守恒，则f+f'也满足流量守恒。
而要证|f+f'|=|f|+|f'|，可以这样看，原网络中，从s流出的净流量加上残留网络中从s流出的净流量就等于新的可行流中从s流出的净流量。
证毕！
推论：若残留网络中存在f'满足|f'|>0，则f必然不是最大流（显然f+f'的流量比f大）。
而反之，命题“若残留网络中不存在f'满足|f'|>0，则f必然是最大流”不一定成立。
增广路径
在残留网络中，从s出发，沿容量大于0的边走，能够走到t，则这条路径即为一条增广路径。
定理
对于一个可行流f，在其残留网络中不存在增广路径，则f为最大流。
为了证明该定理，我们需要引入割的概念。
割
将V划分为S,T满足S∪T=V，S∩T=∮，且s∈S，t∈T，则[S,T]被称为一个割。
割的容量
c(S,T)=∑∑c(u,v)，其中u∈S,v∈T，即所有从S指向T的边的容量之和。
割的流量
f(S,T)=∑∑f(u,v)-∑∑f(v,u)，其中u∈S,v∈T，即从S流向T的流量之和减去从T流向S的流量之和。
性质1
对于流网络的任意一个割，满足f(S,T)<=c(S,T)。
证明：f(S,T)=∑∑f(u,v)-∑∑f(v,u)<=∑∑f(u,v)<=∑∑c(u,v)=c(S,T)。
性质2
对于流网络的任意一个割，满足f(S,T)=|f|。
为了证明之，我们需要先清楚一些性质：
对于任意的V的子集X,Y，定义f(X,Y)=∑∑f(u,v)-∑∑f(v,u)，其中u∈X,v∈Y，设Z也是V的一个子集。
①f(X,Y)=f(Y,X)。
②f(X,X)=0。
③f(Z,X∪Y)=f(Z,X)+f(Z,Y)，其中X∩Y=∮。
④f(X∪Y,Z)=f(X,Z)+f(Y,Z)，其中X∩Y=∮。
性质2的证明：
∵S∪T=V，S∩T=∮，∴f(S,V)=f(S,S)+f(S,T)。
∴f(S,T)=f(S,V)-f(S,S)=f(S,V)=f({s},V)+f(S-{s},V)=f({s},V)=|f|。
下证f(S-{s},V)=0:
设集合S'=S-{s}，则S'中既不含源点也不含汇点，故其中的点均满足流量守恒，流量为0。
f(S',V)=∑∑f(u,v)-∑∑f(v,u)=∑(∑f(u,v)-∑f(v,u))=0，其中u∈S',v∈V。
证毕！
注：证明参考胡伯涛《最小割模型在信息学竞赛中的应用》。
结论
综合性质1和性质2可得，对于原网络的任意一个可行流f和任意一个割，均满足|f|<=c(S,T)。
最大流最小割定理
任何一个网络的最大流量等于最小割中边的容量之和，简记为“最大流=最小割”。
即以下三个条件等价：
①可行流f是最大流。
②可行流f的残留网络中不存在增广路径。
③存在某个割[S,T]，|f|=c(S,T)。
证明：
要证①<=>②<=>③，只需证①=>②=>③=>①。
证①=>②：可行流f是最大流，则可行流f的残留网络中不存在增广路。
反证法：若可行流f的残留网络中存在增广路，则必然可以找到一个可行流f'满足|f'|>0，则|f+f'|=|f|+|f'|>|f|。
证③=>①：若存在割[S,T],可行流f满足|f|=c(S,T)，则f是最大流。
由结论，对于任意一个可行流和任意一个割均满足|f|<=c(S,T)，故最大流<=最小割<=c(S,T)，而最大流>=|f|，而|f|=c(S,T)>=最大流，所以|f|=c(S,T)。
最大流<=最小割，而最小割<=c(S,T)=|f|<=最大流，故最大流=最小割。
证②=>③：若可行流f的残留网络中不存在增广路，则必然存在某个割[S,T],某个可行流f，满足|f|=c(S,T)。
构造集合S：在残留网络中，从s出发，沿容量大于0的边走，所有能走到的点的集合。
由于不存在增广路径，故T=V-S，s∈S,t∈T，且S∪T=V,S∩T=∮。
故[S,T]是合法的割。
对于任意的x∈S,y∈T，f(x,y)=c(x,y)。
反证法：若f(x,y)<c(x,y)，则残留网络中c'(x,y)>0，则y必然能够被遍历到，则y∈S，矛盾！
对于任意的a∈T,b∈S，f(a,b)=0。
反证法：若f(a,b)>0，则残留网络中c'(b,a)=f(a,b)>0，则a必然会被遍历到，则a∈S，矛盾！
∴|f|=f(S,T)=∑∑f(u,v)-∑∑f(v,u)=∑∑c(u,v)=c(S,T)，其中u∈S,v∈T。
证毕！