数学基础（一）

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函数

• 函数
  给数集A一个法则/映射f,得到另一个数集B,记为B=f(A)
• 反函数
  x,y一一对应才有反函数,与原函数关于y=x对称
  反函数一定是单调的,而且单调性与原函数相同
• 复合函数 (f 。g)(x) = f[g(x)]
• 基本初等函数
  1)幂函数 2)指数函数 3)对数函数 4)三角函数(sin,cos,tan,cot,sec,csc)
  5)反三角函数(arcsin,arccos,arctanarccot)

极限

• 数列极限
  对f(x),有常数a,对任意无论多小的δ,总存在正数X,使x>X时,|f(x)-a|<δ恒成立
• 函数极限
  1)x0 2)x0+ 3)x0- 4)∞ 5)+∞ 6)-∞
• 函数极限性质
  1)唯一性 2)局部有限性
• 两个准则
  1)夹逼准则
• 重要极限
  1)lim(x➡0)sinx/x=1 2)lim(x➡∞)(1+1/x)^x=e

导数

• 导数
  
• 常用导数
  
• 导数法则
  
• 反函数求导
  
• 复合函数求导
  
• 高阶导数
  
• 导数的应用
  1)函数单调性
  凹凸性:二阶导>0:凹,二阶导数<0:凸
  
  2)函数极值与最值
  
  3)泰勒公式
  

多元函数

• 二元函数
  每个点(x,y)∈平面D,有对应的法则得到z,记为z=f(x,y)
• 多元函数:多维
• 多元函数极限
  
• 多元函数偏导
• 高阶偏导数

向量

• 向量,向量的模,单位向量,向量的运算
• 方向导数
  
  对于二元函数
  
• 梯度:下降最快方向,各方向偏导向量相加
• 矩阵,矩阵运算,转置
• 方阵行列式:|A|或det(A)
• 代数余子式:Aij = (-1)^(i+j)Mij
det(A)=某一行或某一列元素与其代数余子式的乘积和
• 伴随矩阵:由代数余子式代替对应元素构成的矩阵
• 方阵的逆:A,存在B使 AB=BA=E,称A与B互为逆矩阵
  可逆矩阵 = 非奇异矩阵
  判定可逆: 可逆矩阵的行列式 ≠ 0
  运算:
  
• 矩阵的初等行变换
  目的: 化简矩阵,化成阶梯型
  1)对调两行 2)对第i行乘不为0的数 3)第i行的k倍加到第j行
  A经过有限次的初等变换➡B,即A与B等价,记为 A~B,等价的线性方程同解
  等价的性质:
  1)自反性:A~A 2)对称性:若A_B,则BA 3)传递性:若A_B,且BC,则A~C
  初等行列变换➡最简矩阵(标准形),能看出几阶,即秩
• 初等行变换求逆 ( A , E ) = ( E , A^-1 )
• 矩阵线性表示
  
• 对称矩阵: A = A的转置
• 线性方程组的解
  
  
  

特征值 特征向量

• 概念:A为n阶矩阵,若数λ和n维非零列向量满足Ax=λx,那么数λ称为A的特征值,x称为A的对应于特征值λ的特征向量,并且|λE-A|叫做A的特征多项式
• 求法:解|λE-A| = 0,解出λ,然后解|λE-A|*x = 0