最大公约数,题解

题目:

　　

 

分析:

　　题意是比较简洁的,我们先不考虑取整的问题(精度问题和取mod问题也先放放),这题应该怎么做.

　　首先m很小,我们从m下手下手,首先观察f(i,j)会发现f(i+j,j)=f(i,j),首先我们要知道:(p,q)=1,那么(p+q,q)=1,证明如下:

　　设存在p,q互质且p+q,q不互质,那么就有p+q=k1*x,q=k2*x(x!=1),那么有p=(k1-k2)x,不与q互质,与假设矛盾,故原式得证.

　　然后(i,j)=(i+j,j)是类似的,设i=px,j=qx,p,q互质,那么(i+j,j)=(px+qx,qx)=x(p+q,q)=x,所以(i,j)=(i+j,j)

　　于是原函数里的x是相等的,对于c,第一次操作将会把x变成j,y变成i%j,之后操作就相同了,自然也是相等的

　　于是有f(i,j)=f(i+j,j)

　　于是:i*j/f(i,j)+(i+j)*j/f(i+j,j)+(i+2*j)*j/f(i+2*j,j)+...+(i+k*j)*j/f(i+k*j,j)=((i*j)+(i*j+j*j)+(i*j+2*j*j)+...+(i*j+k*j*j))/f(i,j)(i<=j)

　　发现上面是等差,下面是一个可以算的数,于是我们就可以通过一次求和公式把n的一堆数字加进来,对于每一个j我们只需要遍历一个j的完全剩余系,求出和来就可以了,复杂度m*m*logm(log求f函数)

　　然后如何取整,由于是对里面取整,先算出来再取很可能进位不该进位的1,所以我们考虑换一种办法,现在不能以j分界了,但是我们想想,出现小数的原因是c,如果没有c,i*j/(x*x)不会是小数,但是我们如果c个c个的j去增加,那么取整之后仍然是等差(相当于舍掉的数相同),那么我们就可以这样去处理,发现复杂度还是m*m*logm,没有问题.

　　代码:

　　

#include <cstdio>
long long mod;
long long gcd1;
long long gcd2(long long a,long long b){//求gcd
    return b?gcd2(b,a%b):a;
}
long long gcdc(long long x,long long y){//求c
    long long t;
    long long c=0;
    while(y>0){
        c++;
        t=x%y;
        x=y;
        y=t;
    }
    return c;
}
const int maxn=666+10;
long long gdc[maxn][maxn];
long long gd2[maxn][maxn];
int main(){
    int t;
    scanf("%d",&t);
    for(int i=1;i<=666;i++)
        for(int j=1;j<=666;j++){
            gdc[i][j]=gcdc((long long)i,(long long)j);
            gd2[i][j]=gcd2((long long)i,(long long)j);
        }
    for(int jsjs=1;jsjs<=t;jsjs++){
        long long n,m,ans=0;
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&mod);
        for(int i=1;i<=m;i++)
            for(int j=1;j<=i;j++){
                if(j>n)
                    break;
                long long c=gdc[j][i];
                long long gd=gd2[j][i];
                long long f=c*gd*gd;//f函数
                for(int k=0;k<c;k++){
                    if(j+k*i>n)
                        break;
                    long long sx=(j+k*i)*i/f//首项;
                    long long xs=(n-j-k*i)/(c*i)+1;//项数
                    long long gc=c*i*i/f;//公差
                    ans+=sx*xs+xs*(xs-1)/2%mod*gc;//数列求和
                    ans%=mod;
                }
            }
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}