CodeForces 1358E.Are You Fired?

题意:Levian在一家大公司当会计员。Levian知道公司连续n个月的营收，第i个月的营收是ai(正数表示盈利，负数为亏损)。由于疫情的隔离，第一个(lceil n/2 ceil)的收入是不稳定的，但是剩下的每个月的收入都是相同的。

Levian准备告诉董事长n - k + 1个数字---每连续k个月的总营收。换句话说，对于(iin{[1, n - k + 1]})，他会说出ai + ai+1 + ... + ai+k-1个月的收入和。

不幸的是，如果一个总收入的和<= 0，那么董事长会不高兴，并且开除Levian。为了拯救Levian的职业生涯，找到一个k值，对于每k个月来说，报告的收入都要>= 0。

分析:
我们先代数分析一下，我们另Sk(i) = ai + ai+1 + ... + ai+k-1，表示从i这个起点开始，连续k个月的营收总和，当k <= n / 2时，考虑下Sk(i)和Sk(i+k)，我们把k乘以2，我们的S2k(i) = Sk(i) + Sk(i+k)，如果我们的Sk(i) > 0，Sk(i+k)也大于0，那么S2k(i)也是大于0的，因此如果一个合法的k是存在的，那么也存在一个k' > n / 2也是合法的。仔细想下为什么这样？因为我们要求对于i属于[1, n - k + 1]的每个起点开始长度为k的区间，它们的和都要大于> 0，那么Sk(i)和Sk(i+k)也要> 0，这样我们就会得到S2k(i) > 0，意味着，我们只需要考虑k > n / 2的，如果这个k是合法的，那么会存在一个k <= n / 2的也是合法的。

然后，当k > n / 2时，我们的[i, i + 1, i + 2, ..., i + k - 1]的最右边的数字可以肯定是x，如果x >= 0，我们考虑一下，如果存在一个k是合法的，那么k + 1也肯定是合法的，即Sk+1(i) = Sk(i) + x >= Sk(i) > 0，这样，我们只需要检查一下k == n的情况，因为既然存在一个比较小的k是合法的，当x >= 0的时候，那么后续大于k的k'也一定是合法的。

然后，我们考虑x < 0的情况，对于一个i，我们如果找到Sp(i) > 0，如果Sp(i) > 0，那么Sp-1(i) = Sp(i) + (-x) > Sp(i) > 0也是合法的，即随着k的增加，我们的区间和的值越来越低，即对于一个p来说，那么p - 1也是合法的，我们找到对于一个i来说，它所能延长的最长的k的值，即ai + ai+1 ... ai+p，之后再加一个ai+p+1就变成< 0了，这个最长的k，这个可以采用二分查找，我们先化一下公式，我们化成PreSum[i + p - 1] - PreSum[i - 1] > 0，那么对于一个i来说，我们在前缀和区间中二分查找最后一个大于PreSum[i - 1]的前缀和。

这样，我们找齐了所有i点所能延长的最大的k值(假设为limit[i])，对于一个可行的结果k值，我们要满足k <= min(limit[1], limit[2], limit[3], ..., limit[n - k])，为啥是到n - k呢？因为我们的i点只到[1, n - k]，然后我们编写代码的时候，我们的i从1到n遍历的时候，因为对于一个可行的k值来说，如果i + k >= n的话，我们可以直接输出k就行了，在每一次遍历的时候，我们还要对这个k值取最小，即前面的limit。(见代码)

一个小小的疑惑:我们找每个i点所能延长的最长的k值的时候，我们用反向迭代器查找最后一个大于PreSum[i - 1]的值，我们要求的i + k值应该在[i, i + n / 2]区间内的，为什么是反着的？
有大神解释，感激不尽！

使用反向迭代器的原因:
关于查找最后一个大于PreSum[i - 1]的值，因为STL的二分查找只会查找上升的序列，我们可以反转序列或者使用反向迭代器然后进行查找。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;
using LL = long long;
const int N = 1000005;
//前缀和
LL sum[N];
LL limit[N];
int main()
{
	int n;
	scanf("%d", &n);

	for (int i = 1; i <= (n + 1) / 2; ++i)
	{
		scanf("%lld", &sum[i]);
		sum[i] += sum[i - 1];
	}

	int x;
	scanf("%d", &x);

	for (int i = (n + 1) / 2 + 1; i <= n; ++i)
	{
		sum[i] = sum[i - 1] + x;
	}

	if (sum[n] > 0)
	{
		printf("%d
", n);
		return 0;
	}

	if (x > 0)
	{
		puts("-1");
		return 0;
	}

	vector<LL> pre;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		pre.push_back(sum[i]);

	auto revpre = pre;
	reverse(revpre.begin(), revpre.end());

	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		limit[i] = n - (upper_bound(revpre.begin(), revpre.begin() + (n + 1) / 2 - 1, (i == 0 ? 0 : pre[i - 1])) - revpre.begin());
	}

	LL mnlimit = 1e18;

	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		mnlimit = min(mnlimit, limit[i]);
		if (n - i + 1 <= mnlimit)
		{
			printf("%lld
", mnlimit);
			return 0;
		}
	}
	
	puts("-1");

	return 0;
}