简单数学

目录

• 质数
  • 质数的判定
    • 试除法
  • 质数的筛选
    • Eratosthenes筛法
    • 线性筛法
  • 算术基本定理
    • 试除法分解质因数
• 约数
  • 算术基本定理的推论
    • 约数个数
    • 约数和
  • 求$N$的正约数集合
    • 试除法
      • 试除法的推论
    • 倍数法
      • 倍数法推论
  • 最大公约数
    • 定理
    • 更相减损法
    • 欧几里得法
  • 互质与欧拉函数
    • 欧拉函数
      • 定义
      • 积性函数
        • 积性函数的性质
      • 欧拉函数基本性质
      • 试除法求欧拉函数
      • $Eratosthenes$筛法求欧拉函数
      • 线性筛快速递推欧拉函数
• 同余
  • 同余，同余类和剩余系的定义
  • 费马小定理
  • 欧拉定理
    • 欧拉定理的推论
  • 裴蜀定理
  • 扩展欧几里得算法
  • 乘法逆元的计算和应用
    • 逆元的计算
      • 根据费马小定理求解
      • 求解同余方程
    • 线性递推逆元
      • 利用阶乘递推逆元

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突然发现之前也写过一篇文章叫“简单数学”，缘，妙不可言

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博主整理了一下(OI)中简单的数论知识，故取名简单数学，以后会随着学习的深入慢慢扩展开来。

以下的代码部分没经过验证，可能一定会出锅

质数

质数的判定

顾名思义就是判定某一个数是不是质数

试除法

一个结论：

若一个正整数(N)为合数，那么一定存在一个正整数(T)能够整除(N),且(2le N le sqrt N)

该结论可以通过反证法证明，这里不再赘述（直接背过他不香吗？）

bool judge_prime(int N){
    for(int i=2;i*i<=N;++i)
        if(N%i==0) return 0;
    return 1;
}

容易看出复杂度为(O( sqrt N))

质数的筛选

顾名思义就是晒出出(1acksim N)中的质数

Eratosthenes筛法

核心思想就是质数的倍数是合数，具体不再赘述

void primes(int n){
    memset(v,0,sizeof(v));
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(v[i]) continue;
        prime[++cnt]=i;//i是质数
        for(int j=i*2;j<=n;j+=i) v[j]=1;
	}
}

复杂度为(O(sum_{质数ple frac{N}{p}})=O(N log log N))

线性筛法

核心思想就是通过“从小到大积累质因子”的方式来标记合数，以此来避免(Eratosthenes)筛法重复标记合数的问题

具体实现原理简单来说就是：每个合数(i*p)只会被它的最小质因子筛一次

void primes(int n){
    memset(v,0,sizeof(v));//最小质因子
    cnt=0;//质数的数量
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(v[i]==0) {prime[++cnt]=i;v[i]=i;}
        for(int j=1;j<=cnt;++j)
        {
            if(prime[j]>v[i]||prime[j]>n/i) break;
            v[i*prime[j]]=prime[j];
        }
    }
}
//于2020.7.6更正代码

复杂度为(O(N))我一般都是用埃氏筛

算术基本定理

任何一个大于(1)的正整数都能被唯一分解为有限个质数的乘积的形式，写作：

[N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_m^{c_m} ]

其中(c_iinN^+),(p_i)都是质数，且满足(p_1<p_2<...<p_m)

试除法分解质因数

就是结合一下埃氏筛和试除法

void divide(int n)
{
    cnt=0;
    for(int i=2;i*i<=n;++i)
    {
        if(n%i==0)
        {
            p[++cnt]=i;c[cnt]=0;
            while(n%i==0) n/=i,c[cnt]++;
		}
    }
    if(n>1) p[++cnt]=n,c[cnt]=1;
}

复杂度为(O( sqrt N ))

约数

算术基本定理的推论

如果一个正整数被分解成了(N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_m^{c_m})这种形式，则(N)的正约数集合可以写作

(p_1^{b_1}p_2^{b_2}...p_m^{b_m})其中(0le b_i le c_i)

约数个数

(N)的正约数个数为(prodlimits_{i=1}^m(c_i+1))

约数和

(N)的所有正约数和为(prodlimits_{i=1}^m(sumlimits_{j=0}^{c_i}(p_i)^j))

求(N)的正约数集合

试除法

核心就是利用约数总是成对出现（除了对于完全平方数，(sqrt{N})会单独出现）

for(int i=1;i*i<=N;++i)
{
    if(n%i==0)
    {
        d[++cnt]=i;
        if(i!=n/i) d[++cnt]=n/i;
	}
}

复杂度为(O( sqrt N))

试除法的推论

一个正整数的约数个数上界为(2 sqrt N)

倍数法

求(1acksim N)中每个数的正约数集合

核心思路就是对于每个约数(d),以它为约数的正整数为(d,2d,3d...leftlfloordfrac{N}{d} ight floor*d)

for(int i=1;i<=n;++i)
	for(int j=1;j<=n/i;++j)
        f[i*j].push_back(i);

复杂度为(O(N+frac{N}{2}+frac{N}{3}...+frac{N}{N})=O(Nlog N))

倍数法推论

(1acksim N)中每个数的约数个数的总和大约为(N log N)

最大公约数

定理

(forall a,bin N gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*b)

更相减损法

(forall a,bin N,age b gcd(a,b)=gcd(b,a-b)=gcd(a,a-b))

(forall a,bin N gcd(2a,2b)=gcd(a,b))

如果需要高精度计算时，高精度除法（取模）很恶心人，可以用更相减损法来替代欧几里得算法

欧几里得法

(forall a,bin N gcd(a,b)=gcd(b,a\%b))

int gcd(int a,int b)
{
    if(!b) return a;
    return gcd(b,a%b)
}

互质与欧拉函数

欧拉函数

定义

(1acksim N)中与(N)互质的数的个数，记为(varphi(N))

$varphi(N)=N*prodlimits_{质数p|N}(1-frac{1}{N}) $

积性函数

如果(a,b)互质时，有(f(ab)=f(a)*f(b)),那么函数(f)就是积性函数

积性函数的性质

若(f)是积性函数，且在算术基本定理中(n=prod_{i=1}^mp_i^{c_i})则(f(n)=prod_{i=1}^{m}f(p_i^{c_i}))

欧拉函数基本性质

1. (forall n>1,1acksim n)中与(n)互质的数的和为(n*varphi(n)/2)
2. 若(a,b)互质，则(varphi(ab)=varphi(a)*varphi(b))（积性函数的性质）
3. 设(p)是质数，若(pmid n)且(p^2mid n),则(varphi(n)=varphi(n/p)*p)
4. 设(p)是质数，若(pmid n)但是(p^2 mid n)则(varphi(n)=varphi(n/p)*(p-1))
5. (sum_{dmid n}varphi(d)=n)

试除法求欧拉函数

根据欧拉函数的计算计算式，可以在分解质因数时顺便求出欧拉函数

int phi(int n)
{
    int ans=n;
	for(int i=2;i<sqrt(n);++i)
        if(n%i==0)
        {
            ans=ans/i*(i-1);
            while(n%i==0) n/=i;
        }
    if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}

复杂度为(O(sqrt N))

(Eratosthenes)筛法求欧拉函数

根据欧拉函数的计算式，可以在(O(n log n))的时间内求出(2 acksim n)中每个数的欧拉函数

void euler(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;++i) phi[i]=i;
    for(int i=2;i<=n;++i)
        if(phi[i]==i)
            for(int j=i;j<=n;j+=i)
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
            
}

线性筛快速递推欧拉函数

1. 设(p)是质数，若(pmid n)且(p^2mid n),则(varphi(n)=varphi(n/p)*p)
2. 设(p)是质数，若(pmid n)但是(p^2 mid n)则(varphi(n)=varphi(n/p)*(p-1))

利用上述性质，在线性筛每个合数(n)被最小质因子(p)筛掉的时候通过(varphi(n/p))递推到(varphi(n))

代码就不写了，我没写过这种方法(我菜)

同余

同余，同余类和剩余系的定义

自己百度吧，懒得写了(qwq)

费马小定理

若(p)为质数，则对于任意整数(a)，都有(a^p equiv a (mod p))

欧拉定理

若正整数(a,n)互质，则(a^{varphi(n)} equiv 1(mod n))

欧拉定理的推论

若正整数(a,n)互质，则(a^n equiv a^{n\% varphi(n)}(mod n))

若正整数(a,n)不一定互质时,且(b> varphi (n))，(a^b equiv a^{b\%varphi(n)+varphi(n)}(mod n))

可用于欧拉降幂

裴蜀定理

对于任意整数(a,b)，都存在一对整数(x,y)，满足(ax+by=gcd(a,b))

扩展欧几里得算法

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0) {x=1;y=0;return a;}
    int d=exgcd(b,a%b,x,y);
    int z=x;x=y;y=z-y*(a/b)
    return d;
}

注意：

上述程序求出方程(ax+by=gcd(a,b))的一组特解(x_0,y_0)

对于更为一般的方程(ax+by=c)而言，当(dmid c)时方程有解,此时方程的解为((c/d)*x_0,(c/d)*y_0)

方程(ax+by=c)的通解可以表示为:

(x=frac{c}{d}x_0+kfrac{b}{d})

(y=frac{c}{d}y_0-kfrac{a}{d})

通过上式就可以求出最小正整数解了,(qwq)

乘法逆元的计算和应用

大概就是一个整数，能让(a/b)在模(p)的意义下等于(a*inv(b))

然后就可以到处取模了,(qwq)

逆元的计算

根据费马小定理求解

对于(a/b(mod p))而言

若(p)为质数，则根据费马小定理，(b^{p-1} equiv 1(mod p))

即(b*b^{p-2}equiv 1(mod p))

(b^{p-2})即为(b)的乘法逆元

求解同余方程

如果只保证(b,p)互质,则可以通过直接求解同余方程(b*xequiv 1(mod p))

线性递推逆元

利用阶乘递推逆元

由于(a=frac{a!}{(a-1)!})

(a^{-1}equiv(a-1)!a!^{-1})

((a-1)!equiv a!^{-1}a)

可以求出(1...k)的阶乘，然后利用快速幂求出(k!)的逆元，然后反推(1...k)的阶乘的逆元

该方法也可以求出任意(k)个数的阶乘，即把阶乘换成前缀和

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[未完待续 ]

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