LIS

LIS(最长上升子序列）（含等于的是最长不上升子序列）

vj atcoder 上的板子题

首先介绍下（O(n^2))的dp

首先单独一个数我们直接把他看成就是一个子序列，这个子序列的LIS就是1.我们用一个DP[i]记录从之前到i的LIS，不难得到状态转移方程dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1) ( j=[1,i-1]）

试想一下，1 3 2 5 1 4 每次跑i就找之前的子序列有没有那个子序列的最大值比a[i]###还小的，有的话直接把a[i]加入，如果没有的话就把他单独弄成一个新的子序列 dp[i]=1

dp[1]=1 子序列1

dp[2]=2 子序列1 3

dp[3]=2 子序列1 3 和子序列1 2

dp[4]=3 子序列1 2 5和1 3 5

dp[5]=1 子序列就是1，之前没有找到比他小的就单独创建

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=4e5+7;
#define  ll long long
int  a[maxn];
int  dp[maxn];
int n;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d",a+i);
    }
    int ans=0;
    memset(dp,0,sizeof (dp));
    dp[1]=1;///初始化
    for (int i=1;i<=n;++i)
    {
        for (int j=1;j<i;++j)///找寻之前的是否可以合并
        {
            if (a[i]>a[j])
            {
                ans = max(ans,dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1));
            }
        }
        ans=max(ans,dp[i]=max(dp[i],1));///判断是否加入原来的子序列，否则直接以a[i]单独创建一个子序列
    }
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}

其实O(n^2)的复杂度属实大，很容易被卡，所以接下来带来一种树状数组的解法（如果不会树状数组或者不会维护区间最值的请点此）

其实dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1) ( j=[1,i-1]）这个状态转移方程每次都要往之前查找一遍

不妨直接用树状数组储存LIS数据，然后按照输入数据从大到小进行排列

query查询1到当前位置之间的最大lis，向后直接更新包括当前位置的lis，由于数据直接是从小到大，不影响之后比他大的数更新lis

以输入值为第一权值，以排序位置作为第二权值排序

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=4e5+7;
#define  ll long long
struct Node{
int xx,yy;
 bool operator <(const Node&rhs)const {
     return xx==rhs.xx?yy<rhs.yy:xx<rhs.xx;
   }
}a[maxn];
int c[maxn]={0};
const int INF=0x3f3f3f3f;
inline int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}
int query(int x)///求区间1-x之间的最大值
{
    int res=-INF;
    for(;x;x-=x&(-x)) res=max(res,c[x]);///由于是求1-x所以一定满足y-lowbit(y)>x无需像之前一样特判
    return res;

}
void modify(int idx,int math,int k)///修改 k是边界 idx修改地址 math修改值
{

    for(;idx<=k;idx+=idx&(-idx)) c[idx]=max(c[idx],math);///修改的时候只是遍历所有包含位置idx的值
}
///这两种都可以过
void modify(int idx,int math,int k)///修改 k是边界 idx修改地址 math修改值
{
   c[idx]=math;
    while (idx<=k)
    {
        ///该区域肯定要包括自己，所以首先把自己加入进去
        for (int i=1;i<lowbit(idx);i<<=1)///直接枚举
        {
                c[idx]=max(c[idx],c[idx-i]);
        }
        idx+=lowbit(idx);
    }
}

int main()
{
    memset(a,0,sizeof(a));
    memset(c,0,sizeof(c));
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;++i)
    {
        cin>>a[i].xx;
        a[i].yy=i;
    }
    sort(a+1,a+1+n);
    int ans=0;
    for (int i=1;i<=n;++i)
    {
        int maxx=query(a[i].yy);///找到a[i]所在编号之前最大的lis
        modify(a[i].yy,++maxx,n);///更新在此之前的编号的lis
        ans=max(ans,maxx);
    }
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}
##懒得去重了