[HDU2065] "红色病毒"问题

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题意：现在有一长度为N的字符串,满足一下条件:

　　(1) 字符串仅由A,B,C,D四个字母组成;
　　(2) A出现偶数次(也可以不出现);
　　(3) C出现偶数次(也可以不出现);
   计算满足条件的字符串个数.

解题思路

先解普通递推，然后矩阵乘法优化即可。一维好像没有什么好的解法……

$f[i][0]$表示长度为$i$的合法字符串的数量，$f[i][1]$表示仅A的个数为奇数的字符串数量，$f[i][2]$表示仅C的个数为奇数的字符串数量，$f[i][3]$表示A, C个数都为奇数的字符串数量

因此可得递推方程$$f[i][0] = f[i-1][0]*2 + f[i-1][1] + f[i-1][2]$$

这个方程的意义在于：考虑第$i$位相比已知的前$i-1$位加入什么。如果加入B或D，那么前面的必须合法。如果加入A或C，那么相应的前面的A或C的数量应当为奇数

问题一：为什么只考虑最后一位，当前这一位理论上不是插入前面的i-1个位置都可以吗？然而在这里是要考虑重复的，例如串${ AAB}$，在最后一位或是倒数第二位插入B都将会得到${ AABB }$。那前面的几位呢？如果在第二位插入，就变成了${ ABAB }$，而这等同于在${ ABA }$的后面插入了$B$，将归属于另一种情况。如果讨论了它，就会与别的情况有重复。总结起来，最后得到的串是不分插入位置的，不同的插入顺序得到的是同一个串。换句话说也就是所有B都是一样的。

问题二：为什么转移$f[i][0]$时不加上$f[i-2][3]$呢？试想倘若$f[i-2][3]$的末尾加上一个A，那么就会变成$f[i-1][2]$；加上C就会变成$f[i-1][1]$。而这两类都讨论过了，再讨论就重复了。

其他的几个的转移方法类似，最后我们得到转移方程组：$$left{egin{matrix}f[i][0] = f[i-1][0]*2+f[i-1][1]+f[i-1][2]\ f[i][1] = f[i-1][1]*2+f[i-1][0]+f[i-1][3]\ f[i][2] = f[i-1][2]*2+f[i-1][0]+f[i-1][3]\ f[i][3] = f[i-1][3]*2+f[i-1][1]+f[i-1][2]\ end{matrix} ight.$$

　　因此可以推得矩阵$$ egin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & 0 \ 1 & 2 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 2 & 1 \ 0 & 1 & 1 & 2end{bmatrix} $$

Code

不知道为什么反正要开longlong

/*By DennyQi*/
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define  r  read()
#define  Max(a,b)  (((a)>(b)) ? (a) : (b))
#define  Min(a,b)  (((a)<(b)) ? (a) : (b))
using namespace std;
typedef long long ll;
#define int long long
const int MAXN = 10010;
const int MAXM = 27010;
const int INF = 1061109567;
inline int read(){
    int x = 0; int w = 1; register int c = getchar();
    while(c ^ '-' && (c < '0' || c > '9')) c = getchar();
    if(c == '-') w = -1, c = getchar();
    while(c >= '0' && c <= '9') x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0', c = getchar(); return x * w;
}
int T,N;
int a[5][5],b[5][5],ans[5][5];
inline void Matrix_KSM(int y){
    while(y > 0){
        if(y & 1){
            for(int i = 1; i <= 4; ++i){
                for(int j = 1; j <= 4; ++j){
                    b[i][j] = 0;
                    for(int k = 1; k <= 4; ++k){
                        b[i][j] = (b[i][j] + ans[i][k] * a[k][j]) % 100;
                    }
                }
            }
            for(int i = 1; i <= 4; ++i){
                for(int j = 1; j <= 4; ++j){
                    ans[i][j] = b[i][j];
                }
            }
        }
        for(int i = 1; i <= 4; ++i){
            for(int j = 1; j <= 4; ++j){
                b[i][j] = 0;
                for(int k = 1; k <= 4; ++k){
                    b[i][j] = (b[i][j] + a[i][k] * a[k][j]) % 100;
                }
            }
        }
        for(int i = 1; i <= 4; ++i){
            for(int j = 1; j <= 4; ++j){
                a[i][j] = b[i][j];
            }
        }
        y /= 2;
    }
}
inline void Solve(){
    memset(ans,0,sizeof(ans));
    memset(a,0,sizeof(a));
    for(int i = 1; i <= 4; ++i) ans[i][i] = 1;
    a[1][1] = 2, a[1][2] = 1, a[1][3] = 1, a[1][4] = 0;
    a[2][1] = 1, a[2][2] = 2, a[2][3] = 0, a[2][4] = 1;
    a[3][1] = 1, a[3][2] = 0, a[3][3] = 2, a[3][4] = 1;
    a[4][1] = 0, a[4][2] = 1, a[4][3] = 1, a[4][4] = 2;
    Matrix_KSM(N-1);
    printf("%lld
", (2*ans[1][1]%100 + ans[2][1]%100 + ans[3][1]) % 100);
}
#undef int
int main(){
#define int long long
    for(;;){
        T = r;
        if(!T) break;
        for(int i = 1; i <= T; ++i){
            N = r;
            printf("Case %lld: ",i);
            Solve();
        }
        puts("");
    }
    return 0;
}