BZOJ 3930: [CQOI2015]选数 递推

3930: [CQOI2015]选数

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题目连接

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3930

Description

 我们知道，从区间[L,H]（L和H为整数）中选取N个整数，总共有(H-L+1)^N种方案。小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律，他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数，以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了，于是向你寻求帮助。你的任务很简单，小z会告诉你一个整数K，你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个。由于方案数较大，你只需要输出其除以1000000007的余数即可。

Input

输入一行，包含4个空格分开的正整数，依次为N，K，L和H。

Output

输出一个整数，为所求方案数。

Sample Input

2 2 2 4

Sample Output

3

HINT

题意

题解：

记f[i]为gcd恰好为K*i的选数方案数
那么对于每一个i 记L为 a/(K*i) 上取整 R为 b/(K*i) 那么他的方案数就为
(R-L+1) ^ N - (R-L+1) 再减去f[a*i] (a = 1,2,3....)
最后的f[1]即为答案 注意若a/K上取整 == 1 那么全部选K也是一种方案 需要+1

转自：http://blog.csdn.net/shiyukun1998/article/details/44922391

讲的很清楚

代码：

//qscqesze
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <vector>
#include <sstream>
#include <queue>
#include <typeinfo>
#include <fstream>
#include <map>
#include <stack>
typedef long long ll;
using namespace std;
//freopen("D.in","r",stdin);
//freopen("D.out","w",stdout);
#define sspeed ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0)
#define test freopen("test.txt","r",stdin)  
#define maxn 100001
#define mod 1000000007
#define eps 1e-9
int Num;
char CH[20];
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll infll = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
inline ll read()
{
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
inline void P(int x)
{
    Num=0;if(!x){putchar('0');puts("");return;}
    while(x>0)CH[++Num]=x%10,x/=10;
    while(Num)putchar(CH[Num--]+48);
    puts("");
}
//**************************************************************************************
int pow_mod(int x, int k) 
{  
    int ans=1;  
    while(k) {  
        if(k & 1) ans = 1LL * ans * x % mod;  
        x = 1LL * x * x % mod;  
        k >>= 1;  
    }  
    return ans;  
}  
int ans[maxn];
int main()
{
    //test;
    int n,k,a,b;
    n=read(),k=read(),a=read(),b=read();
    int l=a/k,r=b/k;
    if(a%k)l++;
    for(int i=maxn-1;i>=1;i--)
    {
        int L=l/i,R=r/i;
        if(l%i)L++;
        if(l<=r)
        {
            ans[i]=pow_mod(R-L+1,n);
            ans[i]=(ans[i]-(R-L+1)+mod)%mod;
            for(int j=i*2;j<maxn;j+=i)
                ans[i]=(ans[i]-ans[j]+mod)%mod;
        }
    }
    if(l==1)
        ans[1]=(ans[1]+1)%mod;
    P(ans[1]);
}