如果你了解过 01 Trie 和 可持久化线段树（例如 : 主席树 ）、那么就比较好去可持久化 Trie
可持久化 Trie 当 01 Trie 用的时候能很方便解决一些原本 01 Trie 不能解决的一些问题
01 Trie 的经典贪心算法可以在一个数集里面找出某个数和 X 异或的最值
但若数集不固定、变成了每次问询一段区间或者树上路径此时 01 Trie 便无法快速解决
这个时候需要使用可持久化的 Trie 来维护和进行查询操作、例如用前缀和建 Trie 就能方便查询某一区间的状况
可持久化 Trie 和主席树很类似，都是通过为每个前缀or路径等存储一颗 Trie
然后再通过减法的方式来达到某一区间或者某一历史版本的状态
这里只给出模板、关于这个算法的学习、推荐 ==> Click here
模板 :
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxNode = 1e6 + 10; const int maxn = 1e5 + 10; int root[maxn];///每颗Trie的根节点编号 int sz[maxNode];///每个节点被添加or访问了多少次 int ch[maxNode][2];///静态指针、指向每个节点的01边指向的节点 int totNode = 0;///用于新开节点编号、多测问题别忘初始化 ///静态开辟节点 int newNode() { memset(ch[totNode], 0, sizeof(ch[totNode])); sz[totNode] = 0; return totNode++; } ///F是将要被继承的树、C是当前新增的树、val就是即将被添加到C这棵树上的值 inline void Insert(int F, int C, int val) { F = root[F], C = root[C]; for(int i=15; i>=0; i--){ int bit = (val>>i) & 1; if(!ch[C][bit]){ ch[C][bit] = newNode(); ch[C][!bit] = ch[F][!bit]; sz[ ch[C][bit] ] = sz[ ch[F][bit] ]; } C = ch[C][bit], F = ch[F][bit]; sz[C]++; } } ///查询函数可以说是很多变了 ///可持久化Trie的查询并不是很模板的一个东西 ///所以请务必理解可持久化Trie的原理再来运用这个模板 ///以下的查询函数是 HDU 4757 的查询函数 int Query(int A, int B, int val) { int lca = LCA(A, B); int lcaAns = arr[lca]^val; A = root[A], B = root[B], lca = root[lca]; int ret = 0; for(int i=15; i>=0; i--){ int bit = (val>>i) & 1; if(sz[ch[A][!bit]] + sz[ch[B][!bit]] - 2 * sz[ch[lca][!bit]] > 0){ ret += 1<<i; A = ch[A][!bit]; B = ch[B][!bit]; lca = ch[lca][!bit]; }else A = ch[A][bit], B = ch[B][bit], lca = ch[lca][bit]; } return max(ret, lcaAns); } ///这个查询函数则对应 BZOJ 3261 int query(int x, int y, int val) { int ret = 0; for(int i=Bit; i>=0; i--){ int c = (val>>i) & 1; if(sum[ch[y][!c]] - sum[ch[x][!c]] > 0) ret += (1<<i), y = ch[y][!c], x = ch[x][!c]; else x = ch[x][c], y = ch[y][c]; } return ret; }
一些题目 :
分析 : 每次更新都是从最后加一个数、而每次问询都是查询某一后缀的异或和
可持久化 01 Trie 能够很方便知道某一区间的状况、但关键是往区间里面装什么才能方便查询
注意到异或的自反性质、可以每次给每一个前缀以可持久化的方式建立一颗 Trie
然后对于区间 (L, R) 在可持久化 01 Trie 内查询其两个区间与 (PreSum[N] xor x) 的异或最大值便是答案
因为如果某个下标假设为 idx ( L ≤ idx ≤ R ) 且 PreSum[idx] xor (PreSum[N] xor x) 有最大值
那么就说明了 idx 便是这个 p 、因为上面的异或表达式实际上 (1 ~ idx) 这段的异或和都被自反掉了
所以剩下的肯定就是后缀异或和了、所以利用前缀异或和建可持久化 Trie 即可。
#include<bits/stdc++.h> #define LL long long #define ULL unsigned long long #define scs(i) scanf("%s", i) #define sci(i) scanf("%d", &i) #define scd(i) scanf("%lf", &i) #define scl(i) scanf("%lld", &i) #define scIl(i) scanf("%I64d", &i); #define scii(i, j) scanf("%d %d", &i, &j) #define scdd(i, j) scanf("%lf %lf", &i, &j) #define scll(i, j) scanf("%lld %lld", &i, &j) #define scIll(i, j) scanf("%I64d %I64d", &i, &j) #define sciii(i, j, k) scanf("%d %d %d", &i, &j, &k) #define scddd(i, j, k) scanf("%lf %lf %lf", &i, &j, &k) #define sclll(i, j, k) scanf("%lld %lld %lld", &i, &j, &k) #define scIlll(i, j, k) scanf("%I64d %I64d %I64d", &i, &j, &k) #define lson l, m, rt<<1 #define rons m+1, r, rt<<1|1 #define lowbit(i) (i & (-i)) #define mem(i, j) memset(i, j, sizeof(i)) #define fir first #define sec second #define ins(i) insert(i) #define pb(i) push_back(i) #define pii pair<int, int> #define mk(i, j) make_pair(i, j) #define pll pair<long long, long long> using namespace std; const int maxn = (300000<<1) + 30; const int Bit = 23; int ch[maxn*24][2], sum[maxn*24], sz = 1; int root[maxn]; int newNode() { memset(ch[sz], 0, sizeof(ch[sz])); sum[sz] = 0; return sz++; } void Insert(int y, int x, int val) { for(int i=Bit; i>=0; i--){ int c = (val>>i) & 1; if(!ch[x][c]){ ch[x][c] = newNode(); ch[x][!c] = ch[y][!c]; sum[ch[x][c]] = sum[ch[y][c]]; } x = ch[x][c], y = ch[y][c]; ++sum[x]; } } int query(int x, int y, int val) { int ret = 0; for(int i=Bit; i>=0; i--){ int c = (val>>i) & 1; if(sum[ch[y][!c]] - sum[ch[x][!c]] > 0) ret += (1<<i), y = ch[y][!c], x = ch[x][!c]; else x = ch[x][c], y = ch[y][c]; } return ret; } int N, M, arr[maxn], PreSum[maxn]; int main(void) { scii(N, M); arr[1] = 0, N++; for(int i=2; i<=N; i++) sci(arr[i]); for(int i=1; i<=N; i++) PreSum[i] = PreSum[i-1]^arr[i]; for(int i=1; i<=N; i++){ root[i] = newNode(); Insert(root[i-1], root[i], PreSum[i]); } char ch[3]; int l, r, x; while(M--){ scs(ch); if(ch[0] == 'A'){ N++; sci(arr[N]); PreSum[N] = PreSum[N-1]^arr[N]; root[N] = newNode(); Insert(root[N-1], root[N], PreSum[N]); }else{ sciii(l, r, x); int ans = query(root[l-1], root[r], PreSum[N]^x); printf("%d ", ans); } } return 0; }
题意 : 给出一颗树、树上的节点都有权值、接下来给出若干个询问 (u、v、x)
问从 u 到 v 最短路径上哪个节点和 x 异或结果最大、输出这个结果
分析 : 和上一题有点类似、只不过这里的区间变成了 u 到 v 间的最短路径即树上路径
嘚想办法建出和上题一样类似 "前缀和" 的东西方便使用减法来查询历史版本
针对树上路径的自然联想到 LCA 如果先随意指定一个根节点、先变成一颗有根树
那么 u 到 v 的最短路径可以用 LCA 表示为 dist(u) + dist(v) - 2 * dist(LCA(u, v))
根据上面这条式子、可以得到一个启发、可持久化 Trie 也可以通过这种方法来得到
我们需要的树上路径 Trie 即可以理解为从 u 到 v 最短路径中所有节点的组成 Trie
那做法就是先指定一个根、然后从根开始DFS、每次遍历到一个新节点
便以可持久化的方式新建一颗 Trie 且是继承自其父亲节点的 Trie
那么在查询的时候、给出两个节点 u、v 就对于每一位就可以通过
sz(u) + sz(v) - 2 * sz(LCA(u, v)) 来判断某一位是否包含 0/1 从而进行贪心选择
最后得到异或最值、当然注意这样做会漏掉 LCA、最后只要和 LCA ^ x 取最大便是答案
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn = 1e5 + 10; struct EDGE{ int v, nxt, w; }Edge[maxn<<1]; int Head[maxn], cnt; int dep[maxn], maxDep; int Fa[maxn][16]; int arr[maxn]; int n, m; const int maxNode = 2e6 + 10; int root[maxn], sz[maxNode], ch[maxNode][2]; int tot = 0; inline void init_Graph() { memset(Head, -1, sizeof(Head)); memset(Fa, 0, sizeof(Fa)); cnt = 0; maxDep = 0; } inline void AddEdge(int from, int to) { Edge[cnt].v = to; Edge[cnt].nxt = Head[from]; Head[from] = cnt++; } int newNode() { memset(ch[tot], 0, sizeof(ch[tot])); sz[tot] = 0; return tot++; } inline void Insert(int F, int C, int val) { F = root[F], C = root[C]; for(int i=15; i>=0; i--){ int bit = (val>>i) & 1; if(!ch[C][bit]){ ch[C][bit] = newNode(); ch[C][!bit] = ch[F][!bit]; sz[ ch[C][bit] ] = sz[ ch[F][bit] ]; } C = ch[C][bit], F = ch[F][bit]; sz[C]++; } } void dfs(int v, int fa) { root[v] = newNode(); Insert(fa, v, arr[v]); if(Fa[v][0] != 0) maxDep = max(maxDep, dep[v] = dep[Fa[v][0]]+1); for(int i=Head[v]; i!=-1; i=Edge[i].nxt){ int Eiv = Edge[i].v; if(Eiv == Fa[v][0]) continue; Fa[Eiv][0] = v; dfs(Eiv, v); } } inline void Doubling() { int UP = (int)(log(maxDep)/log(2)); for(int j=1; j<=UP; j++){ for(int i=1; i<=n; i++){ if(Fa[i][j-1] != 0) Fa[i][j] = Fa[Fa[i][j-1]][j-1]; } } } int LCA(int u, int v) { int UP = (int)(log(maxDep)/log(2)); if(dep[u] < dep[v]) swap(u, v); for(int j=UP; j>=0; j--) if(Fa[u][j] != 0 && dep[Fa[u][j]] >= dep[v]) u = Fa[u][j]; if(u == v) return v; for(int j=UP; j>=0; j--){ if(Fa[u][j] != Fa[v][j]){ u = Fa[u][j]; v = Fa[v][j]; } } return Fa[u][0]; } int Query(int A, int B, int val) { int lca = LCA(A, B); int lcaAns = arr[lca]^val; A = root[A], B = root[B], lca = root[lca]; int ret = 0; for(int i=15; i>=0; i--){ int bit = (val>>i) & 1; if(sz[ch[A][!bit]] + sz[ch[B][!bit]] - 2 * sz[ch[lca][!bit]] > 0){ ret += 1<<i; A = ch[A][!bit]; B = ch[B][!bit]; lca = ch[lca][!bit]; }else A = ch[A][bit], B = ch[B][bit], lca = ch[lca][bit]; } return max(ret, lcaAns); } int main(void) { while(~scanf("%d %d", &n, &m)){ for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d", &arr[i]); init_Graph(); for(int i=1; i<n; i++){ int u, v; scanf("%d %d", &u, &v); AddEdge(u, v); AddEdge(v, u); } tot = 0; dfs(1, 0); Doubling(); while(m--){ int u, v, x; scanf("%d %d %d", &u, &v, &x); printf("%d ", Query(u, v, x)); } } return 0; }