最小二乘法及C语言实现

      我们以最简单的一元线性模型来解释最小二乘法。什么是一元线性模型呢？ 监督学习中，如果预测的变量是离散的，我们称其为分类（如决策树，支持向量机等），如果预测的变量是连续的，我们称其为回归。回归分析中，如果只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。对于二维空间线性是一条直线；对于三维空间线性是一个平面，对于多维空间线性是一个超平面...

   对于一元线性回归模型, 假设从总体中获取了n组观察值（X1，Y1），（X2，Y2）， …，（Xn，Yn）。对于平面中的这n个点，可以使用无数条曲线来拟合。要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。综合起来看，这条直线处于样本数据的中心位置最合理。 选择最佳拟合曲线的标准可以确定为：使总的拟合误差（即总残差）达到最小。有以下三个标准可以选择：

        （1）用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。但很快发现计算“残差和”存在相互抵消的问题。
        （2）用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一个途径。但绝对值的计算比较麻烦。
        （3）最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外，得到的估计量还具有优良特性。这种方法对异常值非常敏感。

　 最常用的是普通最小二乘法（ Ordinary  Least Square，OLS）：所选择的回归模型应该使所有观察值的残差平方和达到最小。（Q为残差平方和）- 即采用平方损失函数。

 　样本回归模型：

                                     其中ei为样本（Xi, Yi）的误差

   平方损失函数：

                      

   则通过Q最小确定这条直线，即确定，以为变量，把它们看作是Q的函数，就变成了一个求极值的问题，可以通过求导数得到。求Q对两个待估参数的偏导数：

                       

    根据数学知识我们知道，函数的极值点为偏导为0的点。

    解得：

                   

这就是最小二乘法的解法，就是求得平方损失函数的极值点。

    LeastSquare(const vector<double>& x, const vector<double>& y)  
    {  
        double t1=0, t2=0, t3=0, t4=0;  
        for(int i=0; i<x.size(); ++i)  
        {  
            t1 += x[i]*x[i];  
            t2 += x[i];  
            t3 += x[i]*y[i];  
            t4 += y[i];  
        }  
        a = (t3*x.size() - t2*t4) / (t1*x.size() - t2*t2);  // 求得β1   
        b = (t1*t4 - t2*t3) / (t1*x.size() - t2*t2);        // 求得β2  
    }  

最小二乘法 
    设经验 
方程是y=F(x)，方程中含有一些待定系数an，给出真实值{(xi,yi)|i=1,2,...n},将这些x,y值代入方程然后作 
差，可以描述误差：yi-F(xi)，为了考虑整体的误差，可以取平方和，之所以要平方是考虑到误差可正可负直接相加可以相互抵消，所以记误差为：

e=∑(yi-F(xi))^2

    它是一个多元函数，有an共n个未知量，现在要求的是最小值。所以必然满足对各变量的偏导等于0，于是得到n个方程：

de/da1=0 
de/da2=0 
... 
de/dan=0

n个方程确定n个未知量为常量是理论上可以解出来的。用这种误差分析的方法进行回归方程的方法就是最小二乘法。

线性回归 
如果经验方程是线性的，形如y=ax+b，就是线性回归。按上面的分析，误差函数为：

e=∑(yi-axi-b)^2

各偏导为：

de/da=2∑(yi-axi-b)xi=0 
de/db=-2∑(yi-axi-b)=0

于是得到关于a,b的线性方程组：

(∑xi^2)a+(∑xi)b=∑yixi 
(∑xi)a+nb=∑yi

设A=∑xi^2,B=∑xi,C=∑yixi,D=∑yi，则方程化为：

Aa+Bb=C 
Ba+nb=D

解出a,b得：

a=(Cn-BD)/(An-BB) 
b=(AD-CB)/(An-BB) 

#include  <stdlib.h> 
#include  <iostream> 
#include  <valarray> 
using namespace std; 
int main(int argc, char *argv[]) 
{ 
    int num = 0; 
    cout << " Input how many numbers you want to calculate:"; 
    cin >> num; 
    valarray<double> data_x(num); 
    valarray<double> data_y(num); 
    while( num ) 
    { 
        cout << "Input the "<< num <<" of x:"; 
        cin >> data_x[num-1]; 
        cout << "Input the "<< num <<" of y:"; 
        cin >> data_y[num-1]; 
        num--; 
    } 
    double A =0.0; 
    double B =0.0; 
    double C =0.0; 
    double D =0.0; 
    A = (data_x*data_x).sum(); 
    B = data_x.sum(); 
    C = (data_x*data_y).sum(); 
    D = data_y.sum(); 
    double k,b,tmp =0; 
    if(tmp=(A*data_x.size()-B*B)) 
    { 
        k = (C*data_x.size()-B*D)/tmp; 
        b = (A*D-C*B)/tmp; 
    } 
    else 
    { 
        k=1; 
        b=0; 
    } 
    cout <<"k="<<k<<endl; 
    cout <<"b="<<b<<endl; 
    return 0; 
}