线性筛法求质数

数寻找时，开始最普遍的思路就是双重循环暴力枚举，时间复杂度O(N),复杂度通常比较高，最可怕的是当数据范围特别大的时候（1e）,于是就需要像欧拉筛O（N）与埃氏筛O（nloglog)这样的算法。

埃氏筛法

又称为Eratosthenes筛法（埃拉托斯特尼），简单来讲就是找到一个质数x，然后成倍2x,4x,6x......这样来进行查找，找到一个数就标记，没标记的肯定是质数。
埃氏筛法的基本思想 ：一般从2开始，将每个质数的倍数标记成合数，以达到筛选质数的目的。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool prime[100005];
int n;
void primes(int n){
    for(int i = 2; i <= n; i++) if(!prime[i]){
        cout << i << " ";
        for(int j = 2 * i; j <= n; j += i)prime[j] = true;
    }
}
int main(){
    cin >> n;
    primes(n);
    return 0;
}

发现2和3都对6进行了更新.所以我们可以进行优化,第二层循环的下限改成一下。

for(int j = i; j <= n / i; j++){
            prime[i * j] = true;
    }

埃氏筛法缺陷：对于一个合数，有可能被筛多次。例如10=110=25那么如何确保每个合数只被筛选一次?我们只要用它的最小质因子来筛选即可。

欧拉筛法

这个算法建立在埃氏筛法之上，用它的最小质因子来筛选，可以达到不重复的目的。
当x、y不互质时，若x是y的最小质因数，则e(xy)=e(y)+1。

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 100000
int s[maxn],prime[maxn],i,j,cnt; //初始化素数
void Prime(){
    for(i = 2;i<=maxn;i++) {
        if(!s[i]) prime[++cnt] = i;//记录素数个数
        for(j = 1; j <= cnt && i*prime[j] <= maxn; j++){
            s[i*prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j] == 0) break;
         }
     }
}

保证每个数只被筛选一次：if(i % prime[j] == 0)break;// 保证了一个数只被筛一次。

这条语句保证了，每一个合数都只被筛除一次。为什么呢？由于 i % prime[i] == 0 ，那么如果继续筛下去，i * prime[j+1]一定也会是某一个合数，那么如果下一次判断这个合数的时候，它依然会被prime[j] 筛掉.
虽然欧拉筛快，但复杂度高，容易RE。