【Leetcode】Triangle

给定一个由数字组成的三角形，从顶至底找出路径最小和。

Given a triangle, find the minimum path sum from top to bottom. Each step you may move to adjacent numbers on the row below.

For example, given the following triangle

[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]

The minimum path sum from top to bottom is 11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11).

Note:
Bonus point if you are able to do this using only O(n) extra space, wheren is the total number of rows in the triangle.

思路一：递归，要求以某个数为起点的最小和，可以先求出以跟它相邻的下一层的两个数为起点的最小和，然后取两者的更小者，最后与该数相加即可。基于此可以写出下面的代码：

class Solution {
public:
	int minimumTotal(vector<vector<int> > &triangle) 
	{
		// Start typing your C/C++ solution below
		// DO NOT write int main() function
		return minimumTotal(triangle,0,0);
	}

	int minimumTotal(vector<vector<int> > &triangle, int i, int j)
	{
		if(i == triangle.size()-1)
			return triangle[i][j];

		int sum0 = minimumTotal(triangle,i+1,j);
		int sum1 = minimumTotal(triangle,i+1,j+1);

		return min(sum0,sum1) + triangle[i][j];
	}
};

可以看到代码简洁易懂，不过在Judge large时超时，原因是重复计算了很多子问题，优化它的思路就是用DP，思想是把先把子问题计算好，供查询使用。下面贴上优化的代码：

class Solution 
{
public:
	int minimumTotal(vector<vector<int> > &triangle) 
	{
		// Start typing your C/C++ solution below
		// DO NOT write int main() function
		// 分配空间
		int numRow = triangle.size();
		vector<vector<int> > ibuffer;
		ibuffer.resize(numRow);
		for (int i=0; i<numRow; ++i)
			ibuffer[i].resize(numRow);

		// 从底到顶计算最小和
		for (int i=numRow-1; i>=0; --i)
		{
			vector<int> &row = triangle[i];

			for (int j=0; j<row.size(); ++j)
			{
				if(i==numRow-1)
					ibuffer[i][j] = row[j];
				else
					ibuffer[i][j] = min(row[j]+ibuffer[i+1][j], row[j]+ibuffer[i+1][j+1]);
			}
		}
		
		return ibuffer[0][0];
	}
};

上面的代码可以通过Large judge。不过开了一个n*n大小的二维数组，因此空间复杂度为O(n^2)，n为三角形的层数。进一步观察发现，开二维数组没有必要，因为每次计算只会查询下一层的计算结果，下下层及更后层的计算结果不会使用到，因此可以只开个大小为n的一维数组就可以了。最终代码如下：

class Solution 
{
public:
	int minimumTotal(vector<vector<int> > &triangle) 
	{
		// Start typing your C/C++ solution below
		// DO NOT write int main() function
		// 分配空间
		int numRow = triangle.size();
		vector<int> ibuffer;
		ibuffer.resize(numRow);

		// 从底到顶计算最小和
		for (int i=numRow-1; i>=0; --i)
		{
			vector<int> &row = triangle[i];

			for (int j=0; j<row.size(); ++j)
			{
				if(i==numRow-1)
					ibuffer[j] = row[j];
				else
					ibuffer[j] = min(row[j]+ibuffer[j], row[j]+ibuffer[j+1]);
			}
		}

		return ibuffer[0];
	}
};

空间复杂度为O(n)，n为三角形的层数，时间复杂度为O(K)，K为整个三角形中数字的个数。