( exttt{T1})
( exttt{题意})
有 (n) 个有重量的物品和一个大小为 (m) 的背包，一轮一轮装物品，要求每轮装尽量多数目的物品，且最大化拿走的物品按编号排序后的编号字典序，如此模拟下去求轮数。
(n leq 5 imes 10^4,m leq 10^9)
( exttt{题解})
首先我们可以用 (Theta(nlog n)) 的复杂度求出每轮删的物品个数(不是一开始求出，而是每一轮同步进行)，可以用堆做，也可以排个序用指针扫。
考虑一个一轮 (Theta(n)) 解决的做法：
我们事先给物品排好序，记当前这一轮需要拿走 (k) 个,
然后在剩下的物品数组中,维护一个链表的同时一边跳一边 (check) .
这样做复杂度是 (Theta(n^2),) 但并不能通过全部数据。
考虑如果 (k) 比较小，可以在线段树上维护拿走的物品集合，可以用类似归并排序的方法实现，一次 (update) 复杂度 (Theta(k).)
在维护好信息的情况下考虑每次找到下一个数字拿什么，在线段树上二分就行，虽然一次查询的复杂度是 $klog n $ 但是总共不超过 (n) 次查询因此总复杂度是 (Theta (nklog n))
设一个阈值 (B) , (k geq B) 时用 (Theta(n)) 的暴力，当 (k) 开始 (leq B-1) 的时候建线段树维护即可。
复杂度 (Theta(frac{n^2}{B}+nlog nB)) , 取 (B=sqrt{frac{n}{log n}}) 时时间复杂度为 (Theta(nsqrt{nlog n})) .
一个 (Theta(nsqrt n)) 的做法：
对于 (k<B) 的部分，分块做，设块长为 (S) ,每个块用链表存一下排序结果即可，单次复杂度(Theta(B^2+B(S+frac{n}{S})).)
总复杂度(Theta(nB+n(S+frac{n}{S})+frac{n^2}{B}),)取 (B=S=sqrt n) 总复杂度为 (Theta(nsqrt n))
如果空间卡的很紧，可以适当将 (B) 缩小,由于 (Theta(n)) 的暴力常数很小所以问题也不大。
哦还有另一个 ( exttt{polylog}) 做法，大概是二分套树套树上二分，还要开俩线段树，所以还是分块吧
大概是，每一轮求出个数仍然是随便求，然后二分 (k) 次下一个拿的数字的位置，二分里面要写一个，支持 (n) 次删除 的 查询后缀 (k) 大值的数据结构，这个可以开两个树套树来实现。这东西场上真的有人写？ 哦好像有很多，那没事了
( exttt{T2})
( exttt{题意})
给你一颗带点权树,要选一个点集使得它是一条链，并且按照链的顺序 , 点权序列是最长上升子序列，最大化最长上升子序列长度。
(nleq 10^5)
( exttt{题解})
本来看到同学给我发这个题我觉得是个点分治，结果我 naive 了，原来可以直接线段树合并，哈哈
直接线段树合并，记值域上升/下降到当前值时候的 (LIS) 长度即可，每个点在树上查询并扔进线段树即可。
答案在线段树合并的同时不难维护。
(Theta(nlog n)) , 当然也可以点分治/dsu on tree/启发式合并,由于没卡 (2log) 甚至没卡3log所以上述做法都能过。
( exttt{T3})
( exttt{题意})
有 (n) 个人和 (m) 种菜 , 第 (i) 个人对第 (j) 道菜的喜爱程度为 (a_{i,j}) , 如果 (a_{i,j} = -1) 则表示不喜欢 .
现在你要选择一个菜的集合，你会获得喜欢集合中所有菜的人对这些菜的喜爱程度之和的权值，最大化这个权值.
(nleq 20,m leq 10^6)
( exttt{题解})
知道题意的时候降智了，只会一个2nn2的做法，我好菜啊
显然是个 (fwt) 题。
考虑求所有的人集合的答案。
对于一道菜 (x) ，记它对应的人的集合为 (S)
(A[S] += sumlimits_{i} a_{i,x}) , (A[S-(1<<i)] -= a_{i,x})
然后对 (A) 做 (fwt) 就行了。
(Theta(mn+n2^n))
( exttt{T4})
( exttt{题意})
(m) 测，要求实现对一棵有 (n) 个节点，儿子有顺序的无标号树的编码和解码，只能用一个 __int128 .
(n leq 70,m leq 10^5)
( exttt{题解})
吐槽一下，学弟告诉我题意的时候我以为有标号，结果觉得完全不能做(信息量不够)，哈哈
儿子有顺序的话，一棵树对应唯一一个括号序列，且这个括号序列的开头结尾必然是一对匹配的括号，因此将它们去掉，剩下一个长度为 (2(n-1)) 的括号序列，由于 (Cat_{69} < 2^{128},) 所以对括号序列编码即可。
编码可以用字典序来编码，转移的过程可以事先 (dp) 好，存在 static 里.