APIO2010 特别行动队 & 斜率优化DP算法笔记

做完此题之后 自己应该算是真正理解了斜率优化DP

根据状态转移方程$f[i]=max(f[j]+ax^2+bx+c),x=sum[i]-sum[j]$

可以变形为 $f[i]=max((a*sum[j]^2-b*sum[j])-(2a*sum[j]*sum[i]))+(a*sum[i]^2+b*sum[i]+c)$

我们可以把每个决策映射到平面上的一个点

其中坐标$x=(a*sum[j]^2-b*sum[j])$代表此决策的固定价值(与转移到哪无关)

坐标$y=(-2a*sum[j])$代表此决策的潜在价值(与转移到哪有关) 

这样我们就可以开始用单调队列维护一个$x$递增 $y$递减的凸壳

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对于每次加入进来的一个新元素

我们先对队首的两个决策进行判断 若某决策现有价值不如后面的决策则将其删去

(因为维护的单调队列中的决策潜在价值是递增的)

然后更新新加的元素的最大值

再对新加元素与队尾的两个决策间进行判断

如果队尾第一个的决策在新加决策和前面所有决策所构成凸壳之内

那么这个决策永远不可能同时优于前一个决策和新加决策 所以就直接删掉就好了

最后将新加的决策加入单调队列

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define rep(i,n) for(int i=1;i<=n;++i)
#define imax(x,y) (x>y?x:y)
#define imin(x,y) (x<y?x:y)
using namespace std;
const int N=1000010;
int sum[N],q[N];
long long f[N];
int n;
long long a,b,c;
long long solve(int x,int y)
{
    return f[x]+a*(sum[y]-sum[x])*(sum[y]-sum[x])+b*(sum[y]-sum[x])+c;
}
long long solvex(int x)
{
    return f[x]+a*sum[x]*sum[x]-b*sum[x];
}
bool judge(int x,int y,int z)
{
    long long tx=solvex(x),ty=solvex(y),tz=solvex(z);
    return (ty-tx)*(sum[z]-sum[x])<=(tz-tx)*(sum[y]-sum[x]);//约掉了-2a
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
    rep(i,n)
    {
        scanf("%d",&sum[i]);
        sum[i]+=sum[i-1];
    }
    int ifront=1,itail=1;
    q[1]=0;
    rep(i,n)
    {
        while(ifront<itail&&solve(q[ifront],i)<=solve(q[ifront+1],i))
            ++ifront;
        f[i]=solve(q[ifront],i);
        while(ifront<itail&&judge(q[itail-1],q[itail],i))
            --itail;
        q[++itail]=i;
    }
    printf("%lld",f[n]);
    return 0;
}