UVA 1149 Bin Packing

https://vjudge.net/problem/UVA-1149

题目

给定$N(Nleqslant 10^5)$ 个物品的重量 $L_i$，背包的容量 $M$ ，同时要求每个背包最多装两个物品。求至少要多少个背包才能装下所有的物品。

题解

排序，从大到小

i<j，A[i]<A[j]

贪心1：从重的开始尽量装重的，有TLE风险。时间复杂度 $O(n^2)$ （假设每个物品都重M，就可以达到上界）

证明……可能是显然的

（xjb证明）因为只要找到能装的就能减小次数。对于某个物品，能装最重的，那么一定可以换成较轻的，次数不会变。如果最好状态是装重的，那么显然。如果最好状态是装较轻的，那么解不会变差。

这其实是贪心2的证明，但是我太菜了，说不清楚……

贪心2：最轻的尽量和最重的一起装

证明

摘自紫书

考虑最轻的人i，他应该和谁一起坐呢？如果每个人都无法和他一起坐船，则唯一的方案就是每人坐一艘船。否则，他应该选择能和他一起坐船中最重的一个j。这样的方法是贪心的，因此他只是让“眼前”的浪费最少。

反证：

1.i不和任何一个人坐同一艘船，那么可以把j拉过来和他一起坐，总船数不会增加（而且可能会减少）。

2.i和另外一个人同船。由贪心策略，j是“可以和i一起坐船的人”中最重的，因此k比j轻。把j和k交换后k所在的船仍然不会超重（因为k比j轻），而i和j所在的船也不会超重（由贪心法过程），因此所得到的新解不会更差。

时间复杂度将至 $O(n)$， 由于输入也要$O(n)$，因此不会更优。

由贪心2的证明可以得到贪心1的正确性。贪心1是随便想的

最近智商不够用了= =

AC代码（没必要看，策略最重要）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define REP(r,x,y) for(register int r=(x); r<(y); r++)
#define REPE(r,x,y) for(register int r=(x); r<=(y); r++)
#ifdef sahdsg
#define DBG(...) printf(__VA_ARGS__)
#else
#define DBG(...)
#endif

#define MAXN 200007
typedef long long LL;

template <class T>
inline void read(T& x) {
	char c=getchar();
	int f=1;x=0;
	while(!isdigit(c)&&c!='-')c=getchar();
	if(c=='-')f=-1,c=getchar();
	while(isdigit(c)) {
		x=x*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	x*=f;
}
template <class T>
void write(T x) {
	if(x<0) {
		putchar('-');
		write(-x);
		return;
	}
	if(x>9) write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}

int arr[MAXN];
int n;
int l;

int main() {
	#ifdef sahdsg
	freopen("in.txt", "r", stdin);
	#endif
	int _; read(_);
	bool fi=false;
	while(0<_--) {
		if(fi) putchar('
'); else fi=true;
		read(n); read(l);
		REP(i,0,n) {
			read(arr[i]);
		}
		sort(arr,arr+n);
		int ans=0;
		for(int i=n-1; i>=0; i--) {
			if(arr[i]<0) continue;
			int t=l-arr[i];
			for(int j=i-1; j>=0; j--) {
				if(arr[j]==-1) continue;
				if(arr[j]<=t) {
					arr[j]=-1;
					break;
				}
			}
			ans++;
		}
		write(ans); putchar('
');
	}
	return 0;
}