1. 证明：对于任意质数$pgt 3$，$p^2-1$能被$24$整除。
证：平方差公式，$p^2-1 = (p-1)(p+1)$。
再把$24$分解质因数$2^3*3$。
三个相邻的自然数中至少有一个数是$3$的倍数，而$p$是质数不可能有因子$3$，所以$p-1,p+1$中必有一个数有因子$3$。
$p$是质数，所以一定是奇数，那$p-1,p+1$就是偶数，而相邻两个偶数中至少有一个是$4$的倍数，所以两个数至少有一个有$1$个因子$2$，另一个有$2$个因子$2$。
所以$(p-1)(p+1)$是$2^3*3=24$的倍数，得证。
2. 把$gcd$卡成$log$级别的。
使用斐波那契数列，$gcd(fib(n),fib(n-1))=gcd(fib(n-1),fib(n)mod fib(n-1))=gcd(fib(n-1),fib(n-2))$。
事实上有一个预处理$O(n)$，查询$O(1)$的求gcd做法，WZJ下次课讲。
3. 对于任意正整数$n$与质数$pmod 4=3$，有$p$不整除$n^2+1$。
反证法，假设能整除。
$n^2equiv -1 (mod p)$
$(n^2)^frac{p-1}{2} equiv (-1)^frac{p-1}{2} (mod p)$
结合题意可知$frac{p-1}{2}$是奇数。所以$n^{p-1}equiv -1 (mod p)$
而我们想到费马小定理的$n^{p-1}equiv -1 (mod p)$。
但为什么可以转化成费马小定理呢？$p$是质数，但$n,p$一定互质么？
首先$p$是质数，所以一定不是$n$的倍数；其次，如果$n$是$p$的倍数，$n^2+1$一定不是$p$的倍数，就直接证明原题不能整除了（原因：两个相邻的正整数互质）。
所以$n,p$互质，可以套用费马小定理。
结合两者可得$1equiv -1 (mod p)$。
$p$不能是2，所以不存在满足的情况。
综上，不能整除。
4. 原题hdu4497。