leetcode之全排列问题(Permutations)

在leetcode上，跟Permutations有关的题目：

• 31 Next Permutation
• 46 Permutations

一.31 Next Permutation

　　31题是排列的入门题，给出[1,2,3,4]，需给出下一排列[1,2,4,3]。这题有固定的解法，给定排序nums[n]=[1,4,2,7,6,5,3],n=0~6：

1. 从序号6开始往前寻找第一对严格递减（即找到第一个小于的数，从后往前看）的两个数，在这里是[2,7]，记作[i,j]，从7→2是严格递减。
2. 从序号6开始寻找第一个大于序号i的数2，找到数3序号k，交换数2序号i和数3序号k，得到[1,4,3,7,6,5,2]
3. 将从j开始（从7开始）一直到最后的序列改为正序（此时的序列一定是逆序的），得到[1,4,3,2,5,6,7]

这里考虑两种极端情况[1,2,3,4,5,6,7]和[7,6,5,4,3,2,1]。
　　前一种情况：[i,j]=[6,7]，[k]=[7]；交换i,k，即6和7；反转从k开始的序列，这种情况不特殊，可与一般情况的一起处理；
　　后一种情况：i<0,j=0，直接全体逆序一下即可，这种情况特殊，不能和一般情况一起处理。

二.46 Permutations

本题可以有三种解法：

1. 回溯法（此方法也是leetcode上提示的方法）
2. 利用31题，只要知道一种排列，后续的都可以next出来
3. 使用dfs

2.1 回溯法

　　回溯法的本质是类似于枚举的搜索尝试过程，一般都带着条件去搜索，如果发现继续搜索下去也找不到最优解，那么在此点就开始回溯。一般我们将它的解空间转化转化为树的形式，这样便于理解。
　　这里我们以排序[1,2,3,4]为例，画出它的解空间树。每当i=4的时候，说明已经找到了一个解。需要寻找下一个解。比如找到了第4层的2314后，这时已经到头了，我们需要回溯，返回到第3层，再返回到第2层的2314，然后沿着另外一条路到了第4层的2341，这样就找到了另一个解。

　　在排列问题中，没有约束条件，没有约束条件的回溯有点像暴力穷举，要达到叶子结点才会回溯。如要有条件的话，就可以对解空间树进行剪枝，可以避免许多明显不必要搜索的路径。
　　用递归实现的回溯比较简单易懂，回溯法一般有以下模板：

//用递归实现回溯的一般模板
void backTrack(int i) {
    if(i > n) {
        //到达叶子结点，分析此解是否最优
        return;
    }

    for(int k=low; k<high; k++) {
        if(fx()) {//满足约束条件
            a += nums[i];
            backTrack(i+1);
            a -= nums[i];//在回溯前进行状态的清零
        }
    }
}

　　有许多经典的问题都可以用回溯法来解决，比如8皇后问题、01背包问题等。
　　回归这道题目，下面给出这道题回溯解法。

public class Solution {
    public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
        List<List<Integer>> arrAll = new ArrayList<List<Integer>>();
        backTrack(0, nums, arrAll);
        return arrAll;
    }

    private void backTrack(int i, int[] nums, List<List<Integer>> arrAll) {
        if(i>=nums.length) {
            List<Integer> arr = new ArrayList<Integer>();
            for (int a : nums) {
                arr.add(a);
            }
            arrAll.add(arr);
            return;
        }

        for(int k=i; k<nums.length; k++) {
            exch(nums, i, k);
            backTrack(i+1, nums, arrAll);
            exch(nums, i, k);
        }
    }

    private void exch(int[] nums, int i, int k) {
        int temp = nums[i];
        nums[i] = nums[k];
        nums[k] = temp;
    }
}

2.2 next法

　　用现成的next法
　

2.3 dfs法

【Reference】
46 Permutations三种不同的解法 https://leetcode.com/discuss/20474/share-my-three-different-solutions