1. 离散时间傅里叶变换的导出
针对离散时间非周期序列，为了建立它的傅里叶变换表示，我们将采用与连续情况下完全类似的步骤进行。
考虑某一序列 (x[n])，它具有有限持续期；也就是说，对于某个整数 (N_1) 和 (N_2)，在 $ -N_1 leqslant N leqslant N_2$ 以外，(x[n]=0)。下图给出了这种类型的一个信号。
由这个非周期信号可以构成一个周期序列 ( ilde x[n])，使 (x[n]) 就是 ( ilde x[n]) 的一个周期。随着 (N) 的增大，(x[n]) 就在一个更长的时间间隔内与 ( ilde x[n]) 相一致。而当 (N o infty)，对任意有限时间值 (n) 而言，有 ( ilde x[n]=x[n])。
现在我们来考虑一下 ( ilde x[n]) 的傅里叶级数表示式
[ ag{1} ilde x[n] = sum_{k=(N)}a_ke^{jk{(2pi/N)}n}
]
[ ag{2}a_k = frac{1}{N} sum_{n=(N)} ilde x[n]e^{-jk{(2pi/N)}n}
]
因为在 $ -N_1 leqslant N leqslant N_2$ 区间的一个周期上 ( ilde x[n]=x[n])，因此我们将上式的求和区间就选在这个周期上
[ ag{3}a_k = frac{1}{N} sum_{n=-N_1}^{N_2} x[n]e^{-jk{(2pi/N)}n} = frac{1}{N} sum_{n=-infty}^{+infty} x[n]e^{-jk{(2pi/N)}n}
]
现定义函数
[ ag{4}X(e^{jomega})=sum_{n=-infty}^{+infty}x[n]e^{-jomega n}
]
可见这些系数 (a_k) 正比于 (X(e^{jomega})) 的各样本值，即
[ ag{5}a_k = frac{1}{N}X(e^{jkomega_0})
]
式中，(omega_0=2pi/N) 用来记作在频域中的样本间隔。将（1） 和 （5）结合在一起，( ilde x[n]) 就可以表示为
[ ag{6} ilde x[n] = sum_{k=(N)} frac{1}{N}X(e^{jkomega_0})e^{jkomega_0n} = frac{1}{2pi}sum_{k=(N)} X(e^{jkomega_0})e^{jkomega_0n}omega_0
]
随着 (N o infty)，( ilde x[n]) 趋近于 (x[n])，式（6）的极限就变成 (x[n]) 的表达式。再者，当 (N o infty) 时，有 (omega_0 o 0)，式（6）的右边就过渡为一个积分。
右边的每一项都可以看作是高度为 (X(e^{jkomega_0})e^{jkomega_0n}) 宽度为 (omega_0) 的矩形的面积。而且，因为这个求和是在 (N) 个 (omega_0=2pi/N) 的间隔内完成的，所以总的积分区间总是有一个 (2pi) 的宽度。式（6）和式（4）就分别变成
[ ag{7}oxed{ x[n]=frac{1}{2pi}int_{2pi} X(e^{jomega})e^{jomega n}domega}
]
[ ag{8}oxed{X(e^{jomega})=sum_{n=-infty}^{+infty}x[n]e^{-jomega n}}
]
（7）式和 （8）式被称为离散时间傅里叶变换对。函数 (X(jomega)) 称为 (X(t)) 的离散时间傅里叶变换，也通常被称为频谱。
-
例 1
-
例 2
2. 周期信号的傅里叶变换
考虑如下信号
[ ag{9} x[n] = e^{jomega_0 n}
]
其傅里叶变换是如下的冲激串
[ ag{10}X(e^{jomega}) = sum_{l=-infty}^{+infty}2pidelta(omega-omega_0-2pi l)
]
为了验证该式，必须求出其对应的反变换
[ ag{11} frac{1}{2pi}int_{2pi} X(e^{jomega}) e^{jomega n}domega = frac{1}{2pi}int_{2pi} sum_{l=-infty}^{+infty}2pidelta(omega-omega_0-2pi l) e^{jomega n}domega
]
注意，在任意一个长度为 (2pi) 的积分区间内，在上式的和中真正包括的只有一个冲激，因此，如果所选的积分区间包含在 (omega_0+2pi r) 处的冲激，那么
[ ag{12} frac{1}{2pi}int_{2pi} X(e^{jomega}) e^{jomega n}domega = e^{j(omega_0+2pi r) n} = e^{jomega_0 n}
]
现在考虑一周期序列 (x[n])，周期为 (N)，其傅里叶级数为
[ ag{13} x[n] = sum_{k=(N)} a_k e^{jk(2pi/N)n}
]
这时，傅里叶变换就是
[ ag{14} X(e^{jomega}) = sum_{k=-infty}^{+infty} {2pi} a_k delta (omega-frac{2pi k}{N}) =sum_{l=-infty}^{+infty} sum_{k=(N)}{2pi} a_k delta (omega - komega_0 - 2pi l)
]
这样，一个周期信号的傅里叶变换就能直接从它的傅里叶级数系数得到。
3. 离散时间傅里叶变换性质
为了方便，我们将 (x[n]) 和 (X(e^{jomega})) 这一对傅里叶变换用下列符号表示
[x[n] overset{{displaystyle {mathcal {F}}}}{leftrightarrow} X(e^{jomega})
]
3.1. 离散时间傅里叶变换的周期性
[ ag{15} oxed{ X(e^{j(omega+2pi)}) = X(e^{jomega})}
]
3.2. 线性
若
[x_1[n] overset{{displaystyle {mathcal {F}}}}{leftrightarrow} X_1(e^{jomega})
]
和
[x_2[n] overset{{displaystyle {mathcal {F}}}}{leftrightarrow} X_2(e^{jomega})
]
则
[ ag{16} oxed{ ax_1[n]+bx_2[n] overset{{displaystyle {mathcal {F}}}}{leftrightarrow} aX_1(e^{jomega})+bX_2(e^{jomega})}
]
3.3. 时移与频移性质
若
[x[n] overset{{displaystyle {mathcal {F}}}}{leftrightarrow} X(e^{jomega})
]
则
[ ag{17} oxed{ x[n-n_0] overset{{displaystyle {mathcal {F}}}}{leftrightarrow} e^{-jomega n_0}X(e^{jomega})}
]
[ ag{18} oxed{ e^{jomega_0 n}x[n] overset{{displaystyle {mathcal {F}}}}{leftrightarrow} X(e^{j(omega-omega_0)})}
]
3.4. 共轭及共轭对称性
若
[x[n] overset{{displaystyle {mathcal {F}}}}{leftrightarrow} X(e^{jomega})
]
则
[ ag{19} oxed{ x^*[n] overset{{displaystyle {mathcal {F}}}}{leftrightarrow} X^*(e^{-jomega})}
]
共轭性质就能证明，若 (x(t)) 为实函数，那么 (X(jomega)) 就具有共轭对称性，即
[ ag{20} oxed{ X(e^{jomega}) = X^*(e^{-jomega}) qquad [x[n] 为实]}
]
这就是说，离散傅里叶变换的实部是频率的偶函数，而虚部则是频率的奇函数。
3.5. 差分与累加
[ ag{21} oxed{ x[n]-x[n-1] overset{{displaystyle {mathcal {F}}}}{leftrightarrow} (1-e^{-jomega}) X(e^{jomega})}
]
[ ag{22} oxed{ sum_{m=-infty}^{n}x[m] overset{{displaystyle {mathcal {F}}}}{leftrightarrow} frac{1}{1-e^{-jomega}} X(e^{jomega})+pi X(e^{j0}) sum_{k=-infty}^{+infty}delta(omega-2pi k)}
]
3.6. 时间反转
[ ag{23} oxed{ x[-n] overset{{displaystyle {mathcal {F}}}}{leftrightarrow} X(e^{-jomega})}
]
3.7. 时域扩展
若令 是一个正整数，并且定义
[ ag{24} x_{(k)}[n] = egin{cases}
x[n/k] & ext 当space n space为space kspace的整数倍 \
0, & ext 当space n space不为space kspace的整数倍
end{cases}]
[ ag{25} oxed{ x_{(k)}[n] overset{{displaystyle {mathcal {F}}}}{leftrightarrow} X(e^{jkomega})}
]
3.8. 频域微分
[ ag{26} oxed{nx[n] overset{{displaystyle {mathcal {F}}}}{leftrightarrow} jfrac{dX(e^{jomega})}{domega} }
]
3.9. 帕斯瓦尔定理
[ ag{27} oxed{sum_{-infty}^{+infty}|space x[n] space |^2 =frac{1}{2pi}int_{2pi}|X(e^{jomega})|^2domega }
]
3.10. 卷积性质
[ ag{28} oxed{y[n]=h[n]*x[n] overset{{displaystyle {mathcal {F}}}}{leftrightarrow} Y(e^{jomega})=H(e^{jomega})X(e^{jomega})}
]
两个信号在时域内的卷积就等于它们傅里叶变换的乘积。
3.11. 相乘性质
[ ag{29} oxed{y[n]=x_1[n]x_2[n] overset{{displaystyle {mathcal {F}}}}{leftrightarrow} Y(e^{jomega})=frac{1}{2pi}int_{2pi}X_1(e^{j heta})X_2(e^{j(omega- heta)})d heta}
]
两个信号在时域内的相乘就对应于频域内的周期卷积。
4. 傅里叶变换性质和基本傅里叶变化列表
5. 离散时间傅里叶变换和连续时间傅里叶级数之间的对偶型
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