线性代数之——A 的 LU 分解

1. A = LU

之前在消元的过程中，我们看到可以将矩阵 (A) 变成一个上三角矩阵 (U)，(U) 的对角线上就是主元。下面我们将这个过程反过来，通一个下三角矩阵 (L) 我们可以从 (U) 得到 (A)， (L) 中的元素也就是乘数 (l_{ij})。

如果有一个 3*3 的矩阵，假设不需要进行行交换，那我们需要三个消元矩阵 (E_{21}, E_{31}, E_{32}) 来分别使矩阵 (A) 的 (2, 1)、(3, 1) 和 (3, 2) 位置为零，然后我们就有

乘数 (l_{ij}) 正好就是 (L) 中 ((i, j)) 处的元素。因为当我们计算 (U) 的第三行的时候，实际上是用 (A) 的第三行减去 (U) 的前两行的一些倍数。

因此有

下面看一个特殊的例子

如果 (A) 的某一行以 0 开始，说明该位置不需要进行消元，也即 (L) 中对应位置的元素为 0。

如果 (A) 的某一列以 0 开始，该位置元素在消元过程始终不会改变，也即 (U) 中对应位置的元素为 0。

由于 (L) 的对角线上都是 1，而 (U) 的对角线上为主元，因此，这是不对称的。我们可以进一步将 (U) 进行分解，使得 (U) 的对角线上元素也都为 1。

这时候，(A) 的分解就变成了 (A = LU = LDU)，其中 (D) 是一个对角矩阵， (L) 是一个下三角矩阵， (U) 是一个上三角矩阵。

当我们从左边的 (A) 得到 (L) 和 (U) 后，我们就对右边的 (b) 进行同样的消元过程得到 (Lc = b)，然后再通过回带 (Ux=c) 求出方程组的解。

2. 消元过程的计算复杂度

假设我们有一个 (n*n) 的矩阵，首先我们要将第一列主元以下的元素都变成 (0)。这时候，每一个元素变成 (0) 我们都需要 (n) 次乘法和 (n) 次减法，总共有 (n-1) 个元素需要变成 (0)，总的乘法次数为 (n(n-1))，近似为 (n^2)。然后，我们要依次将后面列的主元下面的元素变成 (0)，需要的总的乘法次数为 (n^2+(n-1)^2+cdots + 2 + 1 approx frac{1}{3}n^3)。

也就是说对左边的 (A) 消元要进行 (frac{1}{3}n^3) 次的乘法操作和 (frac{1}{3}n^3) 次的加法操作。

再来看右边对 (b) 进行消元，首先我们需要将 (b_2, b_3 cdots b_n) 都减去 (b_1)，需要 (n-1) 次操作，往后我们依次需要 (n-2, n-3 cdots 1) 次操作。回带的时候，求解最后一个方程的时候，我们只需要进行 1 次操作，依次往上我们需要 (2, 3 cdots n) 次操作。因此，求解的过程总共需要 (n^2) 次的乘法操作和 (n^2) 次的加法操作

3. 转置和置换矩阵

(A) 的转置矩阵称为 (A^T)，其中 (A^T) 的列就是 (A) 的行，也即 ((A^T)_{ij} = A_{ji})。

[(A+B)^T = A^T + B^T ]

[(AB)^T = B^TA^T ]

假设 (B) 是一个向量 (x)，那么对 ((Ax)^T = x^TA^T) 的理解就是：(Ax) 是对 (A) 的列的线性组合，(x^TA^T) 则是对 (A^T) 的行的线性组合，(A) 的列和 (A^T) 的行是一样的，所以线性组合后是一样的结果。

如果 (B) 有多列的话，我们就很容易得到

同理，针对更多的矩阵，我们也有

[(ABC)^T = C^TB^TA^T ]

[(A^{-1})^T = (A^T)^{-1} ]

[AA^{-1} = I o (AA^{-1})^T = I o (A^{-1})^TA^T = I o (A^{-1})^T = (A^T)^{-1} ]

转置形式的内积和外积

对称矩阵的转置等于它本身，也就是 (A^T = A)。而且，一个对称矩阵的逆矩阵也是对称的。

[(A^{-1})^T = (A^T)^{-1} = A^{-1} ]

对于一个任意的矩阵 (R)，可以是矩形的，(R^TR) 和 (RR^T) 都是一个对称的方阵。

[(R^TR)^T = R^T(R^T)^T = R^TR ]

当 (A=A^T) 时，如果没有行交换，那么有 (A = LDU = LDL^T)，此时 (U) 变成了 (L^T)。

置换矩阵 (P) 每行每列都只有一个 1，而且 (P^T)、(PP^T) 和任意两个置换矩阵的乘积 (P_1P_2) 都还是置换矩阵。此外，所有的置换矩阵都有 (P^T=P^{-1})。

在 (n) 阶的情况下，置换矩阵的总的个数为 (n!)。例如 2 阶置换矩阵只有 2 个，3 阶置换矩阵有 6 个。

如果在需要行交换的情况下，我们可以先引入一个置换矩阵 (P) 使矩阵 (A) 的行有正确的顺序，然后再进行消元，这样的话我们就有

[PA=LU ]

也可以进行消元，然后再用一个矩阵 (P_1) 来让主元有一个正确的顺序，这样的话我们就有

[A=L_1P_1U_1 ]

如果 (A) 是可逆的，置换矩阵 (P) 将会使它的行有一个正确的顺序然后分解成 (PA=LU) 的形式。

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