NOI 题库 7624

7624  山区建小学

描述

政府在某山区修建了一条道路，恰好穿越总共m个村庄的每个村庄一次，没有回路或交叉，任意两个村庄只能通过这条路来往。已知任意两个相邻的村庄之间的距离为di（为正整数），其中，0 < i < m。为了提高山区的文化素质，政府又决定从m个村中选择n个村建小学（设 0 < n < = m < 500 ）。请根据给定的m、n以及所有相邻村庄的距离，选择在哪些村庄建小学，才使得所有村到最近小学的距离总和最小，计算最小值。

输入

第1行为m和n，其间用空格间隔
第2行为(m-1) 个整数，依次表示从一端到另一端的相邻村庄的距离，整数之间以空格间隔。

例如
10 3
2 4 6 5 2 4 3 1 3
表示在10个村庄建3所学校。第1个村庄与第2个村庄距离为2，第2个村庄与第3个村庄距离为4，第3个村庄与第4个村庄距离为6，...，第9个村庄到第10个村庄的距离为3。

输出

各村庄到最近学校的距离之和的最小值。

样例输入

10 2
3 1 3 1 1 1 1 1 3

样例输出

18

———————————————————分割线——————————————————

Solution : 

令 f ( i , j ) 表示前i个村庄修建j个小学的距离之和的最小值。

状态的转移：

f ( i , j ) = f ( k , j - 1 ) + k 到 j修建 1 个小学最小距离和。

那么，怎么快速的求解k 到 j 的最小距离和???

不难猜到 ， k 和 j 的中点就是最短的距离。

详细证明在刘汝佳蓝书。

核心DP方程：

f ( i , j ) = min { f ( i , j )  , f ( k , j - 1 ) + cost ( k + 1 , j ) }

#include "bits/stdc++.h" 

using namespace std ;
const int INF = 214748364 ;
const int maxN = 1e3 ;

int d [ maxN ] , f [ maxN ][ maxN ] , cost[ maxN ][ maxN ] ;

int gmin ( int x , int y ) { return x > y ? y : x ; }

inline int INPUT ( ) {
        int x = 0 , F = 1 ; char ch = getchar ( ) ;
        while ( ch < '0' || '9' < ch ) { if ( ch == '-' ) F = -1 ; ch = getchar ( ) ; }
        while ( '0' <= ch && ch <= '9' ) { x = ( x << 1 ) + ( x << 3 ) + ch - '0' ; ch = getchar ( ) ; }
        return x * F ;
}

void calc ( int M ) {//计算cost[ i ][ j ] ，即 i 到 j 修建 1 个小学最小距离和。
        for ( int i=1 ;i<=M ; ++i ) {
                for ( int j=i+1 ; j<=M ; ++j ){
                        int Dis = 0 ;
                        int mid = ( i + j ) >> 1 ;
                        for ( int k=i ; k<mid ; ++k )Dis += d[mid] - d[k] ;
                        for ( int k=mid+1 ; k<=j ; ++k )Dis += d[k] - d[mid] ;
                        cost[ i ][ j ] = Dis ;
                }
        }
}

void Init_2 ( int N , int M ) {
        for ( int i=1 ; i<=M ; ++i ) {
                for ( int j=1 ; j<=N ; ++j ) {
                        if ( j==1 ) f[ i ][ j ] = cost[ 1 ][ i ] ;
                        else f[ i ][ j ] = INF ;
                }
        }
}
void Init_1 ( int M ) {
        for ( int i=1 ; i<=M; ++i )
                for ( int j=i+1 ; j<=M; ++j )
                        cost[ i ][ j ] = INF ;
}

int main ( ) {
        int M = INPUT ( ) , N = INPUT ( ) ;
        for ( int i=2 ; i<=M ; ++i )
                d[ i ] = d[ i - 1 ] + INPUT ( ) ;
        Init_1( M ) ;
        calc ( M ) ;
        Init_2 ( N , M ) ;
        for ( int i=1 ; i<=M ; ++i ) {
                for ( int j=2 ; j<=N ; ++j ) {
                        for ( int k=0 ; k<i ; ++k ){
                                f[ i ][ j ] = gmin ( f[ i ][ j ] , f[ k ][ j - 1 ] + cost[ k + 1 ][ i ] ) ;
                        }
                }
        }
        printf ( "%d
" , f[ M ][ N ] ) ;
        return 0 ;
}

 

2016-10-20 19:15:13

 

(完)