Maximal Square

Given a 2D binary matrix filled with 0's and 1's, find the largest square containing all 1's and return its area.

For example, given the following matrix:

1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0

Return 4.

一个二维矩阵的题目，越做题越发现二维矩阵的题目很多，而且在面试题中占据很大的分量，并且考察图，DP等比较综合．需要好好掌握这种题目．

首先对于这道题，暴力解法，是找到一个可以定位square的点，然后定位这个点上的square最大边长是多少．取中心点显然不太方便，需要向上下左右四个方向扩展．考虑边缘点，左上，右上，左下，右下其实都是可以的，但是考虑到矩阵的index的推进，实际上取右下点是最方便的．定位了这个点，然后向左上查找全为１的正方形面积．brute force复杂度为O(n^4).但是对于每个点,朝左上推进查找全为1的正方形的过程其实有非常多的重复判断.考虑使用DP优化这个过程.

1.综合以上我们将DP状态 f[i][j]定义为以 i,j为右下角的square的最长边长.

2.现在考虑转移方程,如果matrix[i][j]==0,显然f[i][j] = 0.而如果matrix[i][j]等于1,则可以考虑依靠左上的3个点完成状态转移.边长为向左拓展的长度和向上拓展的长度的最小值.向左拓展的最小长度,由min(f[i-1][j-1],f[i,j-1])+1决定,向右拓展的长度由min(f[i-1][j-1],f[i-1,j])+1决定.所以最终 f[i][j] = min(f[i-1][j],f[i][j-1],f[i-1][j-1])+1(matrix[i][j]=='1')或者0(matrix[i][j] =='0').

3.初始状态,f[0][j] = 0 (if matrix[0][j]=='0')或者f[0][j] = 1 (if matrix[0][j]=='1'),f[i][0] = 0 (if matrix[i][0]=='0')或者f[i][0] = 1 (if matrix[i][0]=='1').

4.最终结果的表达,显然右下角不一定面积最大,所以比较好的方法是不断更新最大边长,最后返回边长的平方.

实际写这题时,一个是可以通过两个一维数组,%2来动态获取.另外一个是直接使用一维数组和一个pre变量保存f[i-1][j-1].前者思维直接,但是后者我已经使用熟练,这里使用的是后者,时间复杂度O(n^2),空间复杂度为O(n),代码如下:

class Solution(object):
    def maximalSquare(self, matrix):
        """
        :type matrix: List[List[str]]
        :rtype: int
        """
        if  not matrix:
            return 0
        res = [int(n) for n in matrix[0]]
        maxLen = max(res) #第一行的最大值有需要包括进去。
        for i in xrange(1,len(matrix)):
            pre = res[0]
            res[0] = int(matrix[i][0])
            for j in xrange(1,len(matrix[0])):
                if matrix[i][j] == '0':
                    pre = res[j]
                    res[j] = 0
                else:
                    res[j], pre = min(res[j], res[j-1], pre) + 1, res[j]
                    maxLen = max(maxLen, res[j])
                    
        return maxLen**2