【HDOJ5542】The Battle of Chibi

我们定义f[i][j]表示前j个数组成的长度为i的合法序列的个数，那么有

因此我们不难写出朴素dp的代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int T,n,m,a[1100],ans;
int f[1100][1100];
const int mod=1000000007;
inline int read() {
    int ret=0;
    int op=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') op=-1; c=getchar();}
    while(c<='9'&&c>='0') ret=ret*10+c-'0',c=getchar();
    return ret*op;
}
int main() {
    T=read();
    for(int t=1;t<=T;t++) {
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(f,0,sizeof(f));
        n=read(); m=read();
        for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
        f[0][0]=1;
        a[0]=-(1<<30);
        ans=0;
        for(int i=1;i<=m;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                for(int k=0;k<j;k++)
                    if(a[k]<a[j]) f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][k])%mod;
        for(int i=1;i<=n;i++) ans=(ans+f[m][i])%mod;
        printf("Case #%d: %d
",t,ans);
    }
    return 0;
}

然而，这种做法的时间复杂度较大，无法通过本题，因此我们考虑优化。

我们将序列A的值离散化，用num[i]表示i离散化后的值，另外，我们令A₀=-∞，num[A₀]=1，然后建立树状数组维护即可。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
inline int read() {
    int ret=0;
    int op=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') op=-1; c=getchar();}
    while(c<='9'&&c>='0') ret=ret*10+c-'0',c=getchar();
    return ret*op;
}
int T,n,m,a[1100],b[1100],num[1100];
int f[1100][1100];
int sum[1100];
const int mod=1000000007;
#define lowbit(x) ((-x)&(x))
int query(int x) {
    int ret=0;
    while(x>0) {
        ret=(ret+sum[x])%mod;
        x-=lowbit(x);
    }
    return ret;
}
void add(int x,int val) {
    while(x<=n) {
        sum[x]=(sum[x]+val)%mod;
        x+=lowbit(x);
    }
}
int main() {
    T=read();
    for(int t=1;t<=T;t++) {
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(f,0,sizeof(f));
        memset(b,0,sizeof(b));
        memset(num,0,sizeof(num));
        n=read(); m=read();
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            a[i]=read();
            b[i]=a[i];
        }
        a[0]=b[n+1]=-(1<<30);
        sort(b+1,b+n+1+1);
        for(int i=0;i<=n;i++) num[i]=lower_bound(b+1,b+n+1,a[i])-b;
        f[0][0]=1;
        for(int i=1;i<=m;i++) {
            memset(sum,0,sizeof(sum));
            add(num[0],f[i-1][0]);
            for(int j=1;j<=n;j++) {
                f[i][j]=query(num[j]-1);
                add(num[j],f[i-1][j]);
            }
        }
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) ans=(ans+f[m][i])%mod;
        printf("Case #%d: %d
",t,ans);
    }
    return 0;
}