原理可以参考大神
LCA_Tarjan （离线）
TarjanTarjan 算法求 LCA 的时间复杂度为 O(n+q) ，是一种离线算法，要用到并查集。（注：这里的复杂度其实应该不是 O(n+q) ，还需要考虑并查集操作的复杂度 ，但是由于在多数情况下，路径压缩并查集的单次操作复杂度可以看做 O(1)，所以写成了 O(n+q)。）
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn = 1e5 + 10; struct EDGE{ int v, nxt, w; }Edge[maxn<<1]; struct Query{ int v, id; Query(){}; Query(int _v, int _id):v(_v),id(_id){}; }; vector<Query> q[maxn]; int Head[maxn], cnt; int Fa[maxn];///并查集数组 int ans[maxn];///问询数数组大小要注意一下、不一定是 maxn bool vis[maxn];///Tarjan算法中的标记数组 int n, m, s, qNum;///点、边、Tarjan递归起点、问询数 inline void init() { memset(Head, -1, sizeof(Head)); memset(vis, false, sizeof(vis)); cnt = 0; } inline void AddEdge(int from, int to) { Edge[cnt].v = to; Edge[cnt].nxt = Head[from]; Head[from] = cnt++; } int Findset(int x) { int root = x; while(Fa[root] != root) root = Fa[root]; int tmp; while(Fa[x] != root){ tmp = Fa[x]; Fa[x] = root; x = tmp; } return root; } void Tarjan(int v, int f) { Fa[v] = v; for(int i=Head[v]; i!=-1; i=Edge[i].nxt){ int Eiv = Edge[i].v; if(Eiv == f) continue; Tarjan(Eiv, v); Fa[Findset(Eiv)] = v; } vis[v] = true; for(int i=0; i<q[v].size(); i++){ if(vis[q[v][i].v]) ans[q[v][i].id] = Findset(q[v][i].v); } } int main(void) { init(); scanf("%d %d %d %d", &n, &m, &s, &qNum); for(int i=1; i<=m; i++){ int u, v; scanf("%d %d", &u, &v); AddEdge(u, v); AddEdge(v, u); } for(int i=0; i<q; i++){ int u, v; scanf("%d %d", &u, &v); q[u].push_back(Query(v, i)); q[v].push_back(Query(u, i)); } Tarjan(s, -1); for(int i=0; i<q; i++) printf("%d ", ans[i]); return 0; }
倍增
我们可以用倍增来在线求 LCA ，时间和空间复杂度分别是 O((n+q)logn) 和 O(nlogn) 。
对于这个算法，我们从最暴力的算法开始：
①如果 aa 和 bb 深度不同，先把深度调浅，使他变得和浅的那个一样
②现在已经保证了 aa 和 bb 的深度一样，所以我们只要把两个一起一步一步往上移动，直到他们到达同一个节点，也就是他们的最近公共祖先了。
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;
const int N=10000+5;
vector <int> son[N];
int T,n,depth[N],fa[N],in[N],a,b;
void dfs(int prev,int rt){
depth[rt]=depth[prev]+1;
fa[rt]=prev;
for (int i=0;i<son[rt].size();i++)
dfs(rt,son[rt][i]);
}
int LCA(int a,int b){
if (depth[a]>depth[b])
swap(a,b);
while (depth[b]>depth[a])
b=fa[b];
while (a!=b)
a=fa[a],b=fa[b];
return a;
}
int main(){
scanf("%d",&T);
while (T--){
scanf("%d",&n);
for (int i=1;i<=n;i++)
son[i].clear();
memset(in,0,sizeof in);
for (int i=1;i<n;i++){
scanf("%d%d",&a,&b);
son[a].push_back(b);
in[b]++;
}
depth[0]=-1;
int rt=0;
for (int i=1;i<=n&&rt==0;i++)
if (in[i]==0)
rt=i;
dfs(0,rt);
scanf("%d%d",&a,&b);
printf("%d
",LCA(a,b));
}
return 0;
}
优化
1. 把 aa 和 bb 移到同一深度（设 depthx 为节点 x 的深度），假设 deptha≤depthbdeptha≤depthb ，这个时候，之前预处理的 fafa 数组就派上用场了。从大到小枚举 kk ，如果 bb 向上跳 2k2k 得到的节点的深度 ≥deptha≥deptha ，那么 bb 就往上跳。
2.如果 a=ba=b ，那么显然 LCA 就是 aa。否则执行第 3 步。
3.这一步的主要目的是 ：分别找到最浅的 a′a′ 和 b′b′ ，并且 a′≠b′a′≠b′ 。
利用之前的那个性质，再利用倍增，从大到小枚举 kk ，如果对于当前的 kk ， aa 和 bb 的第 2k个祖先不同，那么 aa 和 bb 都跳到其 2k 祖先的位置。LCA 就是 faa′,0或者 fab′,0。
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;
const int N=10000+5;
vector <int> son[N];
int T,n,depth[N],fa[N][20],in[N],a,b;
void dfs(int prev,int rt){
depth[rt]=depth[prev]+1;
fa[rt][0]=prev;
for (int i=1;i<20;i++)
fa[rt][i]=fa[fa[rt][i-1]][i-1];
for (int i=0;i<son[rt].size();i++)
dfs(rt,son[rt][i]);
}
int LCA(int x,int y){
if (depth[x]<depth[y])
swap(x,y);
for (int i=19;i>=0;i--)
if (depth[x]-(1<<i)>=depth[y])
x=fa[x][i];
if (x==y)
return x;
for (int i=19;i>=0;i--)
if (fa[x][i]!=fa[y][i])
x=fa[x][i],y=fa[y][i];
return fa[x][0];
}
int main(){
scanf("%d",&T);
while (T--){
scanf("%d",&n);
for (int i=1;i<=n;i++)
son[i].clear();
memset(in,0,sizeof in);
for (int i=1;i<n;i++){
scanf("%d%d",&a,&b);
son[a].push_back(b);
in[b]++;
}
depth[0]=-1;
int rt=0;
for (int i=1;i<=n&&rt==0;i++)
if (in[i]==0)
rt=i;
dfs(0,rt);
scanf("%d%d",&a,&b);
printf("%d
",LCA(a,b));
}
return 0;
}
RMQ
现在来介绍一种 O(nlogn)O(nlogn) 预处理，O(1)O(1) 在线查询的算法。
RMQ 的意思大概是“区间最值查询”。顾名思义，用 RMQ 来求 LCA 是通过 RMQ 来实现的。
//CodeVS2370
#include <bits/stdc++.h>
#define time _____time
using namespace std;
const int N=50005;
struct Gragh{
int cnt,y[N*2],z[N*2],nxt[N*2],fst[N];
void clear(){
cnt=0;
memset(fst,0,sizeof fst);
}
void add(int a,int b,int c){
y[++cnt]=b,z[cnt]=c,nxt[cnt]=fst[a],fst[a]=cnt;
}
}g;
int n,m,depth[N],in[N],out[N],time;
int ST[N*2][20];
void dfs(int x,int pre){
in[x]=++time;
ST[time][0]=x;
for (int i=g.fst[x];i;i=g.nxt[i])
if (g.y[i]!=pre){
depth[g.y[i]]=depth[x]+g.z[i];
dfs(g.y[i],x);
ST[++time][0]=x;
}
out[x]=time;
}
void Get_ST(int n){
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<20;j++){
ST[i][j]=ST[i][j-1];
int v=i-(1<<(j-1));
if (v>0&&depth[ST[v][j-1]]<depth[ST[i][j]])
ST[i][j]=ST[v][j-1];
}
}
int RMQ(int L,int R){
int val=floor(log(R-L+1)/log(2));
int x=ST[L+(1<<val)-1][val],y=ST[R][val];
if (depth[x]<depth[y])
return x;
else
return y;
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for (int i=1,a,b,c;i<n;i++){
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
a++,b++;
g.add(a,b,c);
g.add(b,a,c);
}
time=0;
dfs(1,0);
depth[0]=1000000;
Get_ST(time);
scanf("%d",&m);
while (m--){
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
if (in[x+1]>in[y+1])
swap(x,y);
int LCA=RMQ(in[x+1],in[y+1]);
printf("%d
",depth[x+1]+depth[y+1]-depth[LCA]*2);
}
return 0;
}