斯坦福机器学习课程 Exercise 习题四

Exercise 4: Logistic Regression and Newton’s Method

回顾一下线性回归
hθ(x)=θTx

Logistic Regression
hθ(x)=11+e−θTx=p{y=1|x;θ}

cost(hθ(x),y)的选择
cost(hθ(x),y)=−loghθ(x) (y=1)
选择对数似然损失函数作为逻辑回归的Cost Function 原因是这个cost函数是凸函数，具有碗状的形状，而凸函数具有良好的性质：对
于凸函数来说局部最小值点即为全局最小值点，因此只要能求得这类函数的一个最小值点，该点一定为全局最小值点。
当hθ(x)=1的时候cost =0 反之cost=+∞
同理，cost(hθ(x),y)=−log(1−hθ(x)) (y=0)
当hθ(x)=0的时候cost =0 反之cost=+∞

in summarize

cost(hθ(x),y)=−y loghθ(x)−(1−y)log(1−hθ(x)) (y=1 or 0)

J(θ)=1mcost(hθ(x(i)),y(i))

J(θ)=−1m∑i=1m[y loghθ(x)+(1−y)log(1−hθ(x))]

牛顿迭代法

xn+1=xn−f′(xn)f′′(xn)

decision boundary

hθ(x)=1−g(θTx)=0.5

θ0+θ1x1+θ2x2=0

x2=−1θ2(θ0+θ1x1)

plot_y=−1θ2(θ0+θ1X)

预测不被admitted的概率

prob=1−g(θTx)

for i=1:MAX_ITR
    z=x*theta;
    h=g(z);
    deltaJ= (1/m).* x' * (h - y);
    Hessian=(1/m).*x'* diag(h) * diag(1-h) * x;
    J(i)= (1/m) * sum (-y.*log(h) - (1-y).*log(1-h) );
    theta = theta - Hessian  deltaJ;
end

关键的地方是 Hessian矩阵的求法：
Ng的课程讲到

H=1m∑i=1m[h(x(i))��������R(1−h(x(i)))��������������R∗(x(i))∗(x(i))T]

后面的则是

R(n+1)×1∗R1×(n+1)

h(x(i))是向量，因此在矩阵运算的时候，将向量表示成对角矩阵。

diag(h)∗diag(1−h)

本文完