hdu--1028--Ignatius and the Princess III （母函数）

Ignatius and the Princess III

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Problem Description

"Well, it seems the first problem is too easy. I will let you know how foolish you are later." feng5166 says.

"The second problem is, given an positive integer N, we define an equation like this:
  N=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[m];
  a[i]>0,1<=m<=N;
My question is how many different equations you can find for a given N.
For example, assume N is 4, we can find:
  4 = 4;
  4 = 3 + 1;
  4 = 2 + 2;
  4 = 2 + 1 + 1;
  4 = 1 + 1 + 1 + 1;
so the result is 5 when N is 4. Note that "4 = 3 + 1" and "4 = 1 + 3" is the same in this problem. Now, you do it!"

 

Input

The input contains several test cases. Each test case contains a positive integer N(1<=N<=120) which is mentioned above. The input is terminated by the end of file.

 

Output

For each test case, you have to output a line contains an integer P which indicate the different equations you have found.

 

Sample Input

4

10

20

 

Sample Output

5

42

627

母函数：生成函数即母函数，是组合数学中尤其是计数方面的一个重要理论和工具。生成函数有普通型生成函数和指数型生成函数两种，其中普通型用的比较多。形式上说，普通型生成函数用于解决多重集的组合问题，而指数型母函数用于解决多重集的排列问题。母函数还可以解决递归数列的通项问题（例如使用母函数解决斐波那契数列的通项公式）。

（百度百科的东西，大家估计也不想看，请看下面这个公式）

以展开后的x⁴为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分数为4；

即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

再引出两个概念整数拆分和拆分数：

整数拆分即把整数分解成若干整数的和（相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空，也允许放多于一个球）。

整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。

/*
    Name: hdu--1028--Ignatius and the Princess III 
    Copyright: 2017 日天大帝
    Author: 日天大帝
    Date: 22/04/17 16:36
    Description: 母函数,对应上面那个公式，更容易做这道题
*/
#include<iostream>
using namespace std;
int c1[121],c2[121];
int main()
{
    int n = 121,i;
    for(i = 0;i <= n; i++){ 
        c1[i] = 1;//母函数第一个因子，全为1,c1保存前面i-1个因子相乘的结果,首先对c1初始化，由第一个表达式(1+x+x2+..xn)初始化，把质量从0到n的所有砝码都初始化为1.
        c2[i] = 0;
    }
    for(i =2;i<=n;i++){//操作第i个括号,i从2到n遍历，这里i就是指第i个表达式，上面给出的母函数关系式里，每一个括号括起来的就是一个表达式。
        for(int j = 0; j<= n;j++){//对于指数为j的进行操作，j 从0到n遍历，这里j就是只一个表达式里第j个变量，比如在第二个表达式里：(1+x2+x4....)里，第j个就是x2*j. 
            for(int k =0 ;k+j<=n;k+=i){//把第i个的每一个数与之前的结果相乘，k表示的是第j个指数，所以k每次增i（因为第i个表达式的增量是i）。 
                c2[j+k]+=c1[j];//j+k指数相加，他的值就是这个指数的系数， 
            }
        }
        for(int j = 0;j<=n;j++){//系数保存在前面一个数组中
            c1[j] = c2[j];//把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0，因为c2每次是从一个表达式中开始的 
            c2[j] = 0;
        }
    }
    while(cin>>n)cout<<c1[n]<<endl;
    return 0;
}