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  • LeetCode 204

    一、问题描述

    Description:

    Count the number of prime numbers less than a non-negative number, n

    Hint: The number n could be in the order of 100,000 to 5,000,000.


    二、解题报告

    解法一:

    首先,我试图在遍历的过程中保存之前所有的质数,然后对于对于一个自然数 N:

    • 只需用小于 N 的素数去除就可以了。
    • 而且,不必用从 2 到 N一1 的所有质数去除,只需用小于等于N(根号N)的所有素数去除就可以了。
    int countPrimes(int n) {
        int count = 0;
        vector<int> primes;  // 保存质数
        primes.push_back(3);
        primes.push_back(5);
        primes.push_back(7);
        for(int i=9; i<n; i=i+2)  // 只考虑奇数
        {
            bool flag = true;
            for(int j=0; j<primes.size()&&primes[j]<=pow(i,0.5); ++j)
                if(i%primes[j] == 0)
                {
                    flag = false;
                    break;
                }
    
            if(flag) {
                ++count;
                primes.push_back(i);
            }
        }
        return count+4;  // 加上前四个
    }

    结果是在 1500000 的时候就超时了:


    解法二:厄拉多塞筛法

    没办法了我就去Google了一下,于是知道了厄拉多塞筛法:

    西元前250年,希腊数学家厄拉多塞(Eeatosthese)想到了一个非常美妙的质数筛法,减少了逐一检查每个数的的步骤,可以比较简单的从一大堆数字之中,筛选出质数来,这方法被称作厄拉多塞筛法(Sieve of Eeatosthese)

    具体操作:先将 2~n 的各个数放入表中,然后在2的上面画一个圆圈,然后划去2的其他倍数;第一个既未画圈又没有被划去的数是3,将它画圈,再划去3的其他倍数;现在既未画圈又没有被划去的第一个数 是5,将它画圈,并划去5的其他倍数……依次类推,一直到所有小于或等于 n 的各数都画了圈或划去为止。这时,表中画了圈的以及未划去的那些数正好就是小于 n 的素数。

    其实,当你要画圈的素数的平方大于 n 时,那么后面没有划去的数都是素数,就不用继续判了。如下图:

    C++代码如下:

    int countPrimes(int n) {
        bool *Del = new bool[n]; // 标记是否被划去
        Del[2] = false;
    
        for(int i=3; i<n; ++i)
            if(i%2 == 0)
                Del[i] = true;  // 2的倍数全部划去
            else
                Del[i] = false;
    
        for(int i=3; i<n; i+=2)
            if(!Del[i])  // 之后第一个未被划去
            {
                if(i*i>n)  break;  // 当前素数的平方大于n,跳出循环
                for(int j=2; i*j<n; ++j)
                    Del[i*j] = true;
            }
    
        int count = 0;
        for(int i=2; i<n; ++i)
            if(!Del[i])
                ++count;
    
        delete [] Del;
        return count;
    }





    LeetCode答案源代码:https://github.com/SongLee24/LeetCode



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