LeetCode 204

一、问题描述

Description:

Count the number of prime numbers less than a non-negative number, n

Hint: The number n could be in the order of 100,000 to 5,000,000.

二、解题报告

解法一：

首先，我试图在遍历的过程中保存之前所有的质数，然后对于对于一个自然数 N：

• 只需用小于 N 的素数去除就可以了。
• 而且，不必用从 2 到 N一1 的所有质数去除，只需用小于等于N−−√（根号N）的所有素数去除就可以了。

int countPrimes(int n) {
    int count = 0;
    vector<int> primes;  // 保存质数
    primes.push_back(3);
    primes.push_back(5);
    primes.push_back(7);
    for(int i=9; i<n; i=i+2)  // 只考虑奇数
    {
        bool flag = true;
        for(int j=0; j<primes.size()&&primes[j]<=pow(i,0.5); ++j)
            if(i%primes[j] == 0)
            {
                flag = false;
                break;
            }

        if(flag) {
            ++count;
            primes.push_back(i);
        }
    }
    return count+4;  // 加上前四个
}

结果是在 1500000 的时候就超时了：

解法二：厄拉多塞筛法

没办法了我就去Google了一下，于是知道了厄拉多塞筛法：

西元前250年，希腊数学家厄拉多塞(Eeatosthese)想到了一个非常美妙的质数筛法，减少了逐一检查每个数的的步骤，可以比较简单的从一大堆数字之中，筛选出质数来，这方法被称作厄拉多塞筛法(Sieve of Eeatosthese)。

具体操作：先将 2~n 的各个数放入表中，然后在2的上面画一个圆圈，然后划去2的其他倍数；第一个既未画圈又没有被划去的数是3，将它画圈，再划去3的其他倍数；现在既未画圈又没有被划去的第一个数 是5，将它画圈，并划去5的其他倍数……依次类推，一直到所有小于或等于 n 的各数都画了圈或划去为止。这时，表中画了圈的以及未划去的那些数正好就是小于 n 的素数。

其实，当你要画圈的素数的平方大于 n 时，那么后面没有划去的数都是素数，就不用继续判了。如下图：

C++代码如下：

int countPrimes(int n) {
    bool *Del = new bool[n]; // 标记是否被划去
    Del[2] = false;

    for(int i=3; i<n; ++i)
        if(i%2 == 0)
            Del[i] = true;  // 2的倍数全部划去
        else
            Del[i] = false;

    for(int i=3; i<n; i+=2)
        if(!Del[i])  // 之后第一个未被划去
        {
            if(i*i>n)  break;  // 当前素数的平方大于n，跳出循环
            for(int j=2; i*j<n; ++j)
                Del[i*j] = true;
        }

    int count = 0;
    for(int i=2; i<n; ++i)
        if(!Del[i])
            ++count;

    delete [] Del;
    return count;
}

LeetCode答案源代码：https://github.com/SongLee24/LeetCode