Codeforces 1499D

Educational Codeforces Round 106 (Rated for Div. 2) D. The Number of Pairs

题意

给定三个正整数(c,d,x)，询问有多少对正整数对((a,b))，满足

[c cdot lcm - d cdot gcd = x ]

限制

(1le Tle 10^4)

(1le c,d,xle 10^7)

思路

对于原式

[c cdot lcm - d cdot gcd = x ]

由(gcd)及(lcm)的数学性质，很容易得到一个结论：(lcm)定是(gcd)的倍数。

那么便能将上式化为

[lcm=frac{x+dcdot gcd}{c} ]

右侧定是一个整数，即(x+dcdot gcd)定是(c)的倍数

那么我们可以(O(sqrt x))枚举(x)的所有因子作为(gcd)

由于(c,d,x)已知，在满足上述条件的前提下，可通过(gcd,c,d,x)直接计算出所匹配的(lcm)

问题现在便转化成了“在已知(gcd)与(lcm)的前提下求有多少对整数对满足条件”

---

从数学角度可知

(gcd(a,b))是(a,b)的质因子的交集

(lcm(a,b))是(a,b)的质因子的并集

那么(frac{lcm}{gcd})便是多出来的质因子的乘积

对于(frac{lcm}{gcd})的每种质因子，不论数量，都应该全数位于(frac{a}{gcd})或者全数位于(frac{b}{gcd})中

否则，这些质因子在(a)与(b)中同时出现，便会算在(gcd)中，于此时情况不符

所以如果我们想要构造(a,b)两个数，每种质因子只能够挑其中一个数乘进去

设(frac{lcm}{gcd})的质因子种类数为(n)，则能够构造出的整数对共有(2^n)种

---

实践可得，在线的质因子分解算法都将会完美地TLE 15

所以考虑离线处理每个数拥有的质因子种类数

写法类似于埃氏素数筛法，详情见代码部分的(init)函数

注意(frac{frac{x}{gcd}+d}{c})的数据范围最大可能达到(2cdot 10^7)

代码

(1075ms/2000ms)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int MAXN=2e7;
int r[MAXN+50]; //记录每个数字的质因子种类数

void init()
{
    for(int i=2;i<=MAXN;i++)
        if(!r[i]) //判断i是否为素数
        {
            for(int j=i;j<=MAXN;j+=i)
                r[j]++; //i在范围内的倍数的质因子种类数++
        }
}

ll c,d,x,ans;

void add(int gcd)
{
    ll lcm=x+d*gcd;
    if(lcm%c==0)
    {
        lcm/=c;
        if(lcm%gcd==0)
            ans+=1LL<<r[lcm/gcd];
    }
}

void solve()
{
    ans=0;
    cin>>c>>d>>x;
    int s=sqrt(x);
    for(int i=1;i<=s;i++)
    {
        if(x%i==0) //枚举x的因子i
        {
            add(i);
            if(i*i!=x)
                add(x/i);
        }
    }
    cout<<ans<<'
';
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    init();
    int T;cin>>T;while(T--)
        solve();
    return 0;
}

https://blog.csdn.net/qq_36394234/article/details/114994557