中科大的证法是利用子列收敛，华东师范大学是利用构造一个数列
【数列的柯西收敛准则】
(数列a_{n}收敛的充要条件是,若forall epsilon>0,exists N,forall m,n>N，)
(有|a_{n}-a_{m}|<epsilon\)
(【说明】其含义是，数列a_{n}随着n趋于无穷，各项彼此越靠越近，越往后越近，任给一个任意小的整数，)
(都能从某项之后，任意两项之间的距离，或者说差的绝对值，都小于这个给定的任意小的数。)
(也就是，从某项之后，即使距离最大的两项，其距离差，都小于给定的任意小的数\)
(【证明】)
(先证明充分性)
(设forall epsilon>0,exists N, 当m,n>N时，有|a_{m}-a_{n}|<epsilon)
(即-epsilon<a_{m}-a_{n}<epsilon)
(a_{n}-epsilon<a_{m}<a_{n}+epsilon)
(取epsilon=1,则a_{n}-1<a_{m}<a_{n}+1)
(因为n是大于N的任意的正整数，a_{m}是一个定值，所以forall n，都有a_{m}-1<a_{n}<a_{m}+1)
(故{a_{n}}有上下界，即有界)
(因为{a_{n}}是有界数列，有界数列必有收敛子列)
(设其一个收敛子列为{a_{n_{k}}},设lim_{n oinfty}=a)
(则forallepsilon,exists N,当n>N_{0}时，有|a_{n}-a|<frac{epsilon}{2})
(同时，根据题设，exists N_{1},当m,n>N_{1}时，有|a_{n}-a_{m}|<epsilon)
(设N_{2}=max{N_{0},N_{1}},则当m,n>N_{2}时，)
(|a_{m}-a_{n}|<frac{epsilon}{2})
(|a_{m}-a|=|a_{m}+a_{n}-a_{n}-a|)
(leqslant |a_{m}-a|+|a_{n}-a|)
(leqslant frac{epsilon}{2}+frac{epsilon}{2}=epsilon)
(即， forall epsilon>0,当m>N_{2}，则|a_{m}-a|<epsilon)
(即，lim_{n oinfty}a_{m}=a)
证毕
(\)
下面证明必要性
(设lim_{n o infty}a_{n}=a)
(forall frac{epsilon}{2}>0,exists N,当m,n>N时，有)
(|a_{n}-a|<frac{epsilon}{2},|a_{n}-a|<frac{epsilon}{2},)
(forall m>N)
(|a_{m}-a_{n}|=|a_{m}-a+a-a_{n}|)
(leqslant|a_{m}-a|+|a_{n}-a|)
(leqslantfrac{epsilon}{2}+frac{epsilon}{2})
(=epsilon)