AtCoder AGC033F Adding Edges (图论)

题目链接

https://atcoder.jp/contests/agc033/tasks/agc033_f

题解

又被神仙题搞自闭了……
首先让我们来读错题：把题面里的"in some order"改成"in this order"! 似乎变简单了很多！
显然一条边((u,v))会被产生当且仅当在原图上存在从(u)到(v)的一条路径，使得这条路径上的点依次位于树上的一条路径上。然后我们可以从每个点开始BFS或DFS确定答案。
但是现在的题意是"in some order", 没有对路径上三个点的经过顺序进行约束。那么我们考虑把它强行转化成顺序确定的情况。
假设存在((a,b,c))满足在树上(b)在(a,c)的路径上且在图上(a,b)和(a,c)之间都有连边，那么把(a,c)的连边去掉，连上(b,c)的边。假设我们这样操作直到不能操作为止，那么新的图产生的边和原图是一样的，且新图加边过程中三个点在树的路径上出现的顺序一定和"in this order"保持一致，然后直接采用刚才的做法做即可。
现在考虑如何做上面所说的操作。用(f[u][v])维护以(u)为根时如果添加一条((u,v))的边，那么实际上(u)端点会被哪个点替代，然后每次新加一条图的边，先把这条边缩到最短，然后再分别在以(u)为根(v)子树内和以(v)为根(u)子树内找其他能缩的边以及更新(f)，详见代码。
复杂度分析：发现我们每遍历一个点，要么会缩一条边，要么会使得(f)数组里(f[u][v]=u)的个数减少(1), 故总时间复杂度(O(n^2+nm)).

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define llong long long
#define mkpr make_pair
#define pii pair<int,int>
#define riterator reverse_iterator
using namespace std;

inline int read()
{
	int x = 0,f = 1; char ch = getchar();
	for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) {if(ch=='-') f = -1;}
	for(; isdigit(ch);ch=getchar()) {x = x*10+ch-48;}
	return x*f;
}

const int N = 2e3;
struct Edge
{
	int v,nxt;
} e[(N<<1)+3];
int fe[N+3];
int fa[N+3][N+3];
int f[N+3][N+3];
int n,m,en,ans;

void addedge(int u,int v)
{
	en++; e[en].v = v;
	e[en].nxt = fe[u]; fe[u] = en;
}

void dfs1(int rt,int u)
{
	for(int i=fe[u]; i; i=e[i].nxt)
	{
		int v = e[i].v; if(v==fa[rt][u]) continue;
		fa[rt][v] = u;
		dfs1(rt,v);
	}
}

void addedgeg(int u,int v)
{
	if(f[u][v]==v||f[v][u]==u) {return;}
//	printf("addedgeg %d %d %d %d
",u,v,f[u][v],f[v][u]);
	if(f[u][v]!=u) {addedgeg(f[u][v],v); return;}
	if(f[v][u]!=v) {addedgeg(u,f[v][u]); return;}
	f[u][v] = v,f[v][u] = u;
	vector<pii> ext; queue<int> que;
	que.push(v);
	while(!que.empty())
	{
		int cu = que.front(); que.pop();
		for(int i=fe[cu]; i; i=e[i].nxt)
		{
			int cv = e[i].v; if(cv==fa[u][cu]) continue;
			if(f[u][cv]==u) {f[u][cv] = v; que.push(cv);}
			else {ext.push_back(mkpr(v,cv));}
		}
	}
	que.push(u);
	while(!que.empty())
	{
		int cu = que.front(); que.pop();
		for(int i=fe[cu]; i; i=e[i].nxt)
		{
			int cv = e[i].v; if(cv==fa[v][cu]) continue;
			if(f[v][cv]==v) {f[v][cv] = u; que.push(cv);}
			else {ext.push_back(mkpr(u,cv));}
		}
	}
	for(int i=0; i<ext.size(); i++)
	{
		addedgeg(ext[i].first,ext[i].second);
	}
}

void dfs2(int rt,int u,int prv)
{
	if(u!=rt && f[prv][u]==u) {ans++; prv = u;}
	for(int i=fe[u]; i; i=e[i].nxt)
	{
		int v = e[i].v; if(v==fa[rt][u]) continue;
		dfs2(rt,v,prv);
	}
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1; i<n; i++) {int u,v; scanf("%d%d",&u,&v); addedge(u,v); addedge(v,u);}
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		dfs1(i,i);
	}
	for(int i=1; i<=n; i++) for(int j=1; j<=n; j++) f[i][j] = i;
	for(int i=1; i<=m; i++)
	{
		int x,y; scanf("%d%d",&x,&y);
		addedgeg(x,y);
	}
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		dfs2(i,i,i);
	}
	printf("%d
",ans>>1);
	return 0;
}