Gym 101239E BZOJ 4110 [CERC2013]Evolution in Parallel (DP、结论)

题目链接

(Gym) https://codeforces.com/gym/101239
(BZOJ) 大人，时代变了。

题解

这题好神仙啊
首先有一个显然的 DP，按长度从小到大排序，维护一下目前可选的方案中除了 (i) 所在的组之外的组的最后一个元素都有哪些可能性。在 (O(L)) 时间内判断一个串是否是另一个的子序列，时间复杂度 (O(n^2L)).
但是这样并不能过，有一个很神仙的结论是，任何一个时刻有用的可选的方案只有至多 (2) 种，特别地，如果有 (2) 种，设为 ((i-1,x)) 和 ((i-1,y)) 则一定满足 (x) 和 (y) 都是 ((i-1)) 的子序列。
这可以用数学归纳法证明。最一开始显然只有一种可选方案。
如果某一时刻只有一种可选方案（不妨设为 ((i-1,x))），那么下一个时刻只有可能出现 ((i,x)) 和 ((i,i-1)) 这两种。如果两种都出现，那么显然满足 ((i-1)) 和 (x) 都是 (i) 的子序列。
如果某一时刻有两种可选方案且满足上述条件（不妨设为 ((i-1,x)) 和 ((i-1,y))）：
如果 ((i-1)) 是 (i) 的子序列，那么 ((i,x)) 和 ((i,y)) 都会成为候选集合，且 (x) 和 (y) 都是 (i) 的子序列。这时 ((i,i-1)) 还有可能成为候选集合，但是我们注意到如果 ((i,i-1)) 成为了候选集合，那么因为 (x) 和 (y) 都是 ((i-1)) 的子序列，即 ((i,i-1)) 可以被 ((i,x)) 和 ((i,y)) 完全替代！所以我们可以舍弃 ((i,i-1)) 这种可能性，可选集合最多还是只有 (2) 个。
否则，可选集合只可能有 ((i,i-1)) 这一种。
所以转移就可以了，时间复杂度 (O(nL)).

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define llong long long
#define mkpr make_pair
#define x first
#define y second
#define iter iterator
#define riter reverse_iterator
#define y1 Lorem_ipsum_
#define tm dolor_sit_amet_
#define pii pair<int,int>
using namespace std;

inline int read()
{
	int x = 0,f = 1; char ch = getchar();
	for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) {if(ch=='-') f = -1;}
	for(; isdigit(ch);ch=getchar()) {x = x*10+ch-48;}
	return x*f;
}

const int mxN = 4000;
int n;
string a[mxN+3];
vector<pii> s[mxN+3];
vector<int> ans[2];

bool cmp_len(string s,string t) {return s.length()<t.length();}

bool judge(int u,int v)
{
	for(int i=0,j=0; i<a[u].length(); i++)
	{
		while(j<a[v].length()&&a[v][j]!=a[u][i]) {j++;}
		if(j==a[v].length()) {return false;} j++;
	}
	return true;
}

int main()
{
	n = read(); cin>>a[n+1];
	for(int i=1; i<=n; i++) cin>>a[i];
	sort(a+1,a+n+1,cmp_len);
	for(int i=1; i<=n; i++) if(!judge(i,n+1)) {puts("impossible"); return 0;}
	s[0].push_back(mkpr(0,0));
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		if(s[i-1].size()==1)
		{
			if(judge(i-1,i)) {s[i].push_back(mkpr(s[i-1][0].x,i-1));}
			if(i-1!=s[i-1][0].x&&judge(s[i-1][0].x,i)) {s[i].push_back(mkpr(i-1,s[i-1][0].x));}
		}
		else if(s[i-1].size()==2)
		{
			if(judge(i-1,i)) {s[i].push_back(mkpr(s[i-1][0].x,i-1)); s[i].push_back(mkpr(s[i-1][1].x,i-1));}
			else if(judge(s[i-1][0].x,i)) {s[i].push_back(mkpr(i-1,s[i-1][0].x));}
			else if(judge(s[i-1][1].x,i)) {s[i].push_back(mkpr(i-1,s[i-1][1].x));}
		}
		if(!s[i].size()) {puts("impossible"); return 0;}
	}
	for(int i=n,j=s[n][0].x,x=0; i>=1; i--)
	{
		ans[x].push_back(i);
		for(int k=0; k<s[i].size(); k++) if(s[i][k].x==j)
		{
			if(s[i][k].x==i-1) {x^=1; j = s[i][k].y;}
			else {j = s[i][k].x;}
			break;
		}
	}
	printf("%d %d
",ans[0].size(),ans[1].size());
	for(int i=ans[0].size(); i>=1; i--) cout<<a[ans[0][i-1]]<<endl;
	for(int i=ans[1].size(); i>=1; i--) cout<<a[ans[1][i-1]]<<endl;
	return 0;
}