Description
描述
从 $1sim limit$ 中选取若干个互不相同的数字，使得这些数字的 $lowbit$ 和等于 $sum$。
输入
两个数 $sum, limit(1leq sum,limitleq 10^5)$。
输出
第一行输出 $n$ 表示所选数字的数目，然后第二行 $n$ 个数，表示所选数字。
如果无解输出$-1$。
样例
输入1
5 5
输出1
2
4 5输入2
4 3
输出2
3
2 3 1输入3
5 1
输出3
-1
解释
第一个样例中，$lowbit(4)=4,lowbit(5)=1,4+1=5$。
第二个样例中，$lowbit(1)=1,lowbit(2)=2,lowbit(3)=1,1+2+1=4$。
Solution
因为至多选取 $10^5$ 个数字，很自然想到贪心。
贪心是基于这样一个事实：
| 任何一个数字都可以表示为 $sum 2^x$( $x$ 不重复) 的形式
这是为什么呢，相信大家都知道每个数都有二进制的表示，例如 $1011_{(2)}$ 就显然等于 $1 imes 2^0 + 1 imes 2^1 + 0 imes 2^2 + 1 imes 2^3$，化简一下，也就是 $2^0 + 2^1 + 2^3$。
换言之，因为二进制的每一位只可能是 $0 / 1$，所以必然可以表示为如上形式。
然后 $lowbit$ 相信大家也很清楚，表示一个数字的二进制的最后一位 $1$ 的大小，例如 $lowbit(10color{red}1color{black}0_{(2)})= 10_{(2)}$，即 $lowbit(6)=2$，可以用 lowbit(x) = x AND -x 来计算，显然 $lowbit$ 必然是一个$2^{cdots}$（不理解的同学先学习树状数组）。
我们用一个pair来记录原数和它的 $lowbit$ 值：
for(int i = 1; i <= lim; i++)
{
S.push_back(make_pair(i & -i, i)); // lowbit and number
}
然后基于上面那个结论，将pair根据 $lowbit$ 从大到小排序，依次贪心，这里的贪心结论是：如果 $n$ 大于等于当前的 $lowbit$，必然可以选择当前的 $lowbit$ ，然后将 $n$ 减去它，继续贪心，如果最终 $n eq 0$，则无解。
为什么呢？
$lowbit$ 值显然是有重复的，假设当前在考虑$lowbit_i$，如果一个数可以表示为$sum_{jin[i+1,limit]}lowbit_j$ 的形式，那么这个数加 $lowbit_i$ 必然也可以被表示。
所以，如果 $n(ngeq lowbit_i)$ 可以被表示，则 $n-lowbit_i$ 也可以被表示。
sort(S.rbegin(), S.rend()); // sort(big -> small)
for(unsigned i = 0; i < S.size(); i++)
{
if(n >= S[i].first) // greedy
{
n -= S[i].first;
ans.push_back(S[i].second);
}
}
// output
if(n)
{
cout << -1 << endl;
}
else
{
cout << ans.size() << endl;
for(unsigned i = 0; i < ans.size(); i++)
{
cout << ans[i] << ' ';
}
}
于是这题就可以愉快的通过了，完整代码（代码中的 $n$ 表示原题的 $sum $）：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, lim;
vector<pair<int, int> > S;
vector<int> ans;
int main()
{
cin >> n >> lim;
for(int i = 1; i <= lim; i++)
{
S.push_back(make_pair(i & -i, i));
}
sort(S.rbegin(), S.rend());
for(unsigned i = 0; i < S.size(); i++)
{
if(n >= S[i].first)
{
n -= S[i].first;
ans.push_back(S[i].second);
}
}
if(n)
{
cout << -1 << endl;
}
else
{
cout << ans.size() << endl;
for(unsigned i = 0; i < ans.size(); i++)
{
cout << ans[i] << ' ';
}
}
return 0;
}
一句话总结：能减就减，有余无解！