今天闲的蛋疼就复习一下数据结构
写在之前
树状数组是一个好文明
TA可以说是目前维护\(O(\ nlogn\ )\)数据结构当中常数最小的
一般来讲 维护序列的树形数据结构当中
往往是 树状数组 < 线段树 < 平衡树
神级操作
1.区间修改区间查询
树状数组可以说是把差分思想运用到极致的数据结构 没有之一
我们假设
当前序列值为\(a_i\),维护差分之后就是\(d_i\)
\(a_i\ =\ \sum_{i=1}^{n}d_i\)
那么\(\sum_{i=1}^{p}a_i=\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{i}d_i\)
由于在这个看似是\(O(n^2)\)的循环中
\(d_1\)使用了\(p\)次,\(d_2\)使用了\(p-1\)次,\(d_3\)使用了\(p-2\)次......\(d_p\)只被使用了1次
所以很容易总结出来
\(\sum_{i=1}^{p}a_i=\sum_{i=1}^{p}(p-i+1)\ * \ d_i\ =p\sum_{i=1}^{p}d_i-\sum_{i=1}^{p}d_i* (i-1)\)
所以我们自然就需要维护两个差分数组\(d_i\)以及\(d_i\ * \ (i-1)\)
首先是正常的“建树”
for(int i=1;i<=n;++i)
{
add(tre1,i,num[i]-num[i-1])
add(tre2,i,(i-1)*(num[i]-num[i-1]))
}
然后就是区间修改 依然是差分维护边界
for(int i=1;i<=n;++i)
{
add(tre1,x,z);add(tre1,y+1,-z);
add(tre2,x,(x-1)*z);add(tre2,y+1,(-z)*y);
}
最后就是区间查询 用前缀和求解区间
for(int i=1;i<=n;++i)
{
最终结果就是
y*qury(tre1,y)-(x-1)*qury(tre1,x-1)-qury(tre2,y)+qury(tre2,x-1);
}
2.二维树状数组
①.单点修改区域查询
二维前缀和
\(s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j]\)
由于树状数组是维护的前缀和形式
所以到了二维平面上 自然也就是 二维前缀和了
ll tre[3010][3010];
ll n,m,k;
IL void add(ll num,ll x,ll y)
{
for(R ll i=x;i<=n;i+=(i&-i))
for(R ll j=y;j<=m;j+=(j&-j))
tre[i][j]+=num;
}
IL ll qury(ll x,ll y)
{
ll sum=0;
for(R ll i=x;i;i-=(i&-i))
for(R ll j=y;j;j-=(j&-j))
sum+=tre[i][j];
return sum;
}
int main()
{
read(n);read(m);
for(R ll i=1;i<=n;++i)
for(R ll j=1;j<=m;++j)
{
ll x;read(x);
add(x,i,j);
}
read(k);
while(k--)
{
ll key,ax,ay,bx,by,z;
read(key);
if(key==1)
{
read(ax);read(ay);read(z);
add(z,ax,ay);
}
else
{
read(ax);read(ay);read(bx);read(by);
printf("%lld\n",qury(bx,by)-qury(bx,ay-1)-qury(ax-1,by)+qury(ax-1,ay-1));
}
}
return 0;
}
②.区域修改单点查询
区间修改还是运用的差分
但是怎么维护差分? ? ? ? ?
还是二维前缀和
\(a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1]+d[i][j]\)
正常情况下
1 2 3
4 5 6
7 8 9
维护差分之后
1 1 1
3 0 0
3 0 0
单点查询不说
区间修改
譬如说(2,2)到(4,4)
a a a a a
a a+x a a a-y
a a a a a
a a a a a
a a-y a a a+x
从而维护二维前缀和
// 注:该代码仅通过暴力对拍证明正确
ll tre[3010][3010],num[3010][3010];
ll n,m,k;
IL void add(ll z,ll x,ll y)
{
for(R ll i=x;i<=n;i+=(i&-i))
for(R ll j=y;j<=m;j+=(j&-j))
tre[i][j]+=z;
}
IL ll qury(ll x,ll y)
{
ll sum=0;
for(R ll i=x;i;i-=(i&-i))
for(R ll j=y;j;j-=(j&-j))
sum+=tre[i][j];
return sum;
}
int main()
{
read(n);read(m);
for(R ll i=1;i<=n;++i)
for(R ll j=1;j<=m;++j)
read(num[i][j]);
for(R ll i=1;i<=n;++i)
for(R ll j=1;j<=m;++j)
add(num[i][j]-(num[i-1][j]+num[i][j-1]-num[i-1][j-1]),i,j);
read(k);
while(k--)
{
ll key,ax,ay,bx,by,z;
read(key);
if(key==1)
{
read(ax);read(ay);read(bx);read(by);read(z);
add(z,ax,ay);
add(-z,bx+1,ay);
add(-z,ax,by+1);
add(z,bx+1,by+1);
}
else
{
read(ax);read(ay);
printf("%lld\n",qury(ax,ay));
}
}
return 0;
}
③.区域修改区域查询
这里便是差分前缀和的极限了
\(\ \ \ \ \sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}a[i][j]\)
\(=\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}\sum_{h=1}^{i}\sum_{k=1}^{j}d[h][k]\)
然后的话按照一维的情况
\(=\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}(x-i+1)\ * \ (y-j+1)\ * \ d[i][j]\)
\(=(x+1)\ * \ (y+1)\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}d[i][j]\ -\ (x+1)\ * \sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}d[i][j]\ * \ j\)
\(\ \ \ \ \ -\ (y+1)\ * \sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}d[i][j]\ * \ i\ +\ \sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}d[i][j]\ * \ i\ * \ j\)
接下来就又是差分了
维护四个差分数组
\(d[i][j],d[i][j]* i,d[i][j]* j,d[i][j]* i* j\)
ll tre[4][3055][3055];
ll n,m;
IL void add(ll xx,ll yy,ll k)
{
if(xx<1||xx>n||yy<1||yy>m) return;
for(R ll i=xx;i<=n;i+=(i&-i))
for(R ll j=yy;j<=m;j+=(j&-j))
{
tre[0][i][j]+=k;
tre[1][i][j]+=k*xx;
tre[2][i][j]+=k*yy;
tre[3][i][j]+=k*xx*yy;
}
}
IL ll qury(ll x,ll y)
{
ll sum=0;
for(R ll i=x;i;i-=(i&-i))
for(R ll j=y;j;j-=(j&-j))
{
sum+=(x+1)*(y+1)*tre[0][i][j]-(y+1)*tre[1][i][j]-(x+1)*tre[2][i][j]+tre[3][i][j];
}
return sum;
}
int main()
{
getchar;read(n);read(m);char key;
// printf("scanf is %lld and %lld\n",n,m);
while(key=readc(),key!=EOF)
{
ll xi,yi,xj,yj,k;
if(key=='L')
{
read(xi);read(yi);read(xj);read(yj);read(k);
add(xi,yi,k);
add(xj+1,yi,-k);
add(xi,yj+1,-k);
add(xj+1,yj+1,k);
}
else
{
read(xi);read(yi);read(xj);read(yj);
printf("%d\n",qury(xj,yj)-qury(xi-1,yj)-qury(xj,yi-1)+qury(xi-1,yi-1));
}
}
return 0;
}