loj #2008. 「SCOI2015」小凸想跑步

#2008. 「SCOI2015」小凸想跑步

 

题目描述

小凸晚上喜欢到操场跑步，今天他跑完两圈之后，他玩起了这样一个游戏。

操场是个凸 n nn 边形，N NN 个顶点按照逆时针从 0∼n−1 0 sim n - 10∼n−1 编号。现在小凸随机站在操场中的某个位置，标记为 P PP 点。将 P PP 点与 n nn 个顶点各连一条边，形成 N NN 个三角形。如果这时 P PP 点，0 00 号点，1 11 号点形成的三角形的面积是 N NN 个三角形中最小的一个，小凸则认为这是一次正确站位。

现在小凸想知道他一次站位正确的概率是多少。

输入格式

第一行包含 1 11 个整数 n nn，表示操场的顶点数和游戏的次数。
接下来有 N NN 行，每行包含两个整数 Xi X_iX​i​​、Yi Y_iY​i​​ 表示顶点的坐标。
输入保证按逆时针顺序输入点，所有点保证构成一个 n nn 多边形。所有点保证不存在三点共线。

输出格式

输出一个数，正确站位的概率，保留 4 44 位小数。

样例

样例输入

5
1 8
0 7
0 0
8 0
8 8

样例输出

0.6316

数据范围与提示

3≤N≤105,−109≤X,Y≤109 3 leq N leq 10 ^ 5, -10 ^ 9 leq X, Y leq 10 ^ 93≤N≤10​5​​,−10​9​​≤X,Y≤10​9​​

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define maxn 100010
#define eps 0.001
using namespace std;
struct node{
    double x,y;
    node(double a=0,double b=0):x(a),y(b){}
    node operator + (const node &c)
    {return node(x+c.x,y+c.y);}
    node operator - (const node &c)
    {return node(x-c.x,y-c.y);}
    double operator * (const node &c)
    {return x*c.y-y*c.x;}
    node operator / (const double c)
    {return node(x/c,y/c);}
}p[maxn];
int n;
double cnt1,cnt2,S;
double abs(double x){return x>0?x:-x;}
void check(double x,double y){
    node point=node(x,y);
    double mn=1000;int k=-1;double sum=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        node a=p[i],b=p[(i+1)%n];
        double s=(a-point)*(b-point)*0.5;
        s=abs(s);
        if(s<mn)mn=s,k=i;
        sum+=s;
    }
    if(abs(sum-S)<=eps){
        cnt1+=1;
        if(k==0)cnt2+=1;
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    double mxx=0,mnx=100,mxy=0,mny=100;
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
        mxx=max(mxx,p[i].x);
        mxy=max(mxy,p[i].y);
        mnx=min(mnx,p[i].x);
        mny=min(mny,p[i].y);
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
        S+=(p[i]-p[0])*(p[i+1]-p[0]);
    S*=0.5;
    S=abs(S);
    for(double i=mnx;i<=mxx;i+=0.001)
        for(double j=mny;j<=mxy;j+=0.001)
            check(i,j);
    cnt2+=(n-3)*300;cnt1+=(n-3)*300;
    cnt2/=cnt1;
    printf("%.4lf",cnt2);
    return 0;
}

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define maxn 200010
using namespace std;
struct node{
    long double x,y;
    node(){}
    node(long double a,long double b){x=a,y=b;}
    node operator + (const node &a)
    {return node(x+a.x,y+a.y);}
    node operator - (const node &a)
    {return node(x-a.x,y-a.y);}
    node operator * (const long double &a)
    {return node(x*a,y*a);}
    long double operator * (const node &a)
    {return x*a.y-y*a.x;}
}p[maxn];
struct line{
    node p,v;
    long double a;
    line(){}
    line(node x,node y){p=x,v=y,a=atan2(v.y,v.x);}
}l[maxn];
int n,tot,h,t,q[maxn];
long double ans,sum;
bool onleft(line a,node b){
    return a.v*(b-a.p)>=0;
}
node getp(line a,line b){
    node u=a.p-b.p;
    long double tmp=(b.v*u)/(a.v*b.v);
    return a.p+a.v*tmp;
}
bool cmp(line a,line b){
    if(fabs(a.a-b.a)==0)return onleft(a,b.p);
    return a.a<b.a;
}
inline void work(){
    sort(l+1,l+tot+1,cmp);
    int j=1;
    for(int i=2;i<=tot;i++)  if(fabs(l[i].a-l[j].a)>0)    l[++j]=l[i];
    tot=j;
    h=1,t=2,q[1]=1,q[2]=2;
    for(int i=3;i<=tot;i++){
        while(h<t&&onleft(l[i],getp(l[q[t-1]],l[q[t]])))t--;
        while(h<t&&onleft(l[i],getp(l[q[h+1]],l[q[h]])))h++;
        q[++t]=i;
    }
    while(h<t&&onleft(l[q[h]],getp(l[q[t-1]],l[q[t]])))t--;
    for(int i=h;i<t;i++) p[i]=getp(l[q[i]],l[q[i+1]]);
    p[t]=getp(l[q[t]],l[q[h]]);
    for(int i=h;i<t;i++)ans+=p[i]*(p[i+1]-p[i]);
    ans+=p[t]*(p[h]-p[t]);
}
int main(){
    freopen("Cola.txt","r",stdin);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)cin>>p[i].x>>p[i].y;
    p[n]=p[0];
    for(int i=0;i<n;i++){
        l[++tot]=line(p[i+1],p[i]-p[i+1]);
        sum+=p[i]*(p[i+1]-p[i]);
    }
    for(int i=1;i<n;i++){
        long double a=p[i+1].x-p[i].x-p[1].x+p[0].x;
        long double b=p[i+1].y-p[i].y-p[1].y+p[0].y;
        long double c=-(p[i]*(p[i+1]-p[i]))+(p[0]*(p[1]-p[0]));
        if(fabs(a)>0)l[++tot]=line(node(0,c/a),node(-a,-b));
        else if(fabs(b)>0)l[++tot]=line(node(-c/b,0),node(0,-b));
    }
    work();
    printf("%.4lf",(double)fabs(ans/sum));
    return 0;
}