如何通俗易懂地解释「协方差」与「相关系数」的概念？

作者：傅渥成
链接：https://www.zhihu.com/question/20852004/answer/16393656
来源：知乎
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看到这个问题，马上想到我那天回答的另一个问题了。我们在刻画这个世界之间的各种关系的时候，常常会希望度量“距离”：

1. 对于空间中的两个点，我们可以用勾股定理定义平方和作为距离；
2. 对于两个二进制序列，或者两段基因序列，我们可以用汉明距离来度量二者之间的差异，作为“距离”；
3. 那么假如对于两个复杂的量（描述这两个量可能用很多很多的参数），那么这时候怎样度量二者之间的“相关性”呢？

按照真正的逻辑顺序来讲，应该是这样讲的：

把所有的这些复杂的参数排成一列，就拍成了一个向量，很多很多的这样的向量构成了一个向量空间。向量空间里面的东西没有“距离”这样的概念，对于一个向量空间里面的向量，甚至没有“长度”这样的概念，因为向量空间只是一个代数结构，没有度量或者拓扑的概念在其中，那这时候怎样度量向量的长度来呢？接下来，又怎样来确定两个向量之间的“距离”呢？

对于一个可以定义距离的结构（度量空间），我们需要有一些要求，认为满足这些要求的一个函数就可以认为是距离，例如我们要求：A到B的距离等于B到A的距离，A到A的距离等于0，两个点之间的距离非负，三角不等式。那么对于一个向量空间，怎样可以最自然地给它一个“范数”，使得它有可能推广到一个距离空间（度量空间）呢？最自然的方法就是引入“内积”的概念了，通过内积的运算，得到内积空间，再用内积来定义距离（范数），于是也就有可能得到距离空间。

为什么内积空间可以变成一个度量空间呢？这就是我在“学一门课的时候，要注意理解和思考，不要一味的背公式，背习题是什么意思？”这个问题里面，我反复用到了 Cauchy 不等式，目的也正在此。Cauchy 不等式为我们提供了判断两个向量是否相关的方案：(a・b)/|a||b| 可以作为度量相关性的一个函数，而它的直观意义是什么，请看下面。

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好了，截止到目前，都是我认为一个比较正常，且不算太难的一种解释的方法，如果觉得这样理解起来还有困难，那么接下来就只能用能让中学生听懂的，最直观的方法了，但是我并不喜欢这样直观的讲法，因为这个讲法的逻辑是很混乱的，事先就引入了很多不应该过早引入的概念，不过为了帮助理解，也就这样吧：

• 有两个向量，我们希望定义它们是不是相关。一个很自然的想法，用向量与向量的夹角来作为距离的定义，夹角小，就距离小，夹角大，就距离大。
• 但是怎样来计算夹角呢？为了让这种计算可行，我们要选一种恰当的三角函数来算。
• 正弦函数的不太好的一个原因是因为加上个90°，正弦算出来得到的结果一样，而两个向量的夹角是30°还是120°这是完全的两码事，此外，正弦函数也不适合推广到高维度向量的计算中的“两两比较”。
• 那么考虑用余弦吧，这个可以很方便地区分30°和120°，而且还有一个好处——余弦的计算非常简单，用内积就可以计算了，中学数学中就学过： (x1,y1)・(x2,y2)=x1x2+y1y2，这就是内积，你要是喜欢，也可以把这个叫做“协方差”。
• 但是这个内积的定义很奇怪哎？要是两个向量本身就长，那这个也算不出夹角来，所以再要除以两个向量本身的长度，即，夹角：cos <a, b> =(a・b)/|a||b|;
• 这样，那么两个量是不是相关，怎么来判断？就用余弦的大小就可以了，我们把两个向量的夹角的余弦，就叫做“相关系数”，正如上面的式子所指出的，写开了就是：

• 分子上面的就是一个内积的计算，也就是前面我说的“协方差”，分子下面是两个勾股定理乘起来，是两个向量的长度。如果两个向量平行，则它们夹角的余弦（也就是“相关系数”）就等于1或者-1，同向的时候是1，反向的时候就是-1。如果两个向量垂直，则夹角的余弦就等于0，说明二者不相关。
• 再写我都不好意思了，我觉得这样应该很容易就可以懂了……