学习笔记：权值线段树

虽然题解很多，也有权值线段树，但我的和他们似乎不尽相同，跑的也挺快。
所谓权值线段树，就是用线段树来存储权值。
那什么是权值呢？似乎小学初中学统计的时候了解到，他是描述数在数据中比例大小的量，这里用作此数出现的次数。

建树

做法显然。
我们用(cnt_i)表示第(i)个数出现的次数，那么可以这样：

void update(int k){a[k].sum=a[k<<1].sum+a[k<<1|1].sum;}
void build(int k,int l,int r)
{
	a[k].l=l,a[k].r=r;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(l==r)
	{
		a[k].sum=cnt[l];//赋值
		return;
	}
	build(k<<1,l,mid),build(k<<1|1,mid+1,r);//向下递归
	update(k);//动态更新点区间和
}

之后

你是不是还在疑问这是在回答什么问题？
对这就是询问所有数中第(x)小值。

分析

如何运用权值线段树呢？
很简单，我们每次查询下左儿子的权值和(sum)，如果(xgeqslant sum),就向右儿子递归询问第(x-sum)小，否则向左儿子递归找第(x)值就好了。
有没有发现纰漏？
这个数组必须有单调性。
那就排序啊......
反正排序是(O(nlog n))的，线段树也是(O(nlog n))的，不会成为瓶颈。
这里先不给代码了，下面再说。

其他的东西

我们想到线段树是单调数组，而使用是非常不便。
这就需要一种给力的映射关系。
其实就是离散化了。
这里就有代码了：

struct Node
{
	int val,id;
}t[MAXN];
bool cmp(Node n,Node m)
{
	return n.val<m.val;
} 
int b[MAXN],num[MAXN],cnt[MAXN],c=1;
void hash(int n)
{
	sort(t+1,t+n+1,cmp);//结构体排序
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(num[c]!=t[i].val) b[t[i].id]=++c,num[c]=t[i].val;//如果和上一个不同
		else b[t[i].id]=c;
		cnt[c]++;
	}
}

慢慢来，比较绕。
(b[])是原数组到离散化数组的映射，而(num[])反之。
举个栗子：
数据：(5,12,-6,7,5)中，
(b[1](t[1].val=5)=2,b[2](t[2].val=12)=4);
(ps):这里给出的下标是未排序的。
(num[1]=-6,num[3]=7);
(cnt[2]=2(num[2]=num[3]=5))。

回到上题

这样就可以求第(x)小值了。
用上面的思想解决：

int query(int k,int x)
{
	if(a[k].l==a[k].r) return num[a[k].l];//找到了
	else if(a[k<<1].sum>=x) return query(k<<1,x);//在左儿子中
	else return query(k<<1|1,x-a[k<<1].sum); //在右儿子中，记得减一下
}

题解

你基本已经学会了权值线段树了，现在来看这个题：
题目链接：P1801 黑匣子
考虑权值线段树，加点并不好实现，不如强制离线，倒着试试。
删除一个数就十分简单了，我们只需用原数到离散化数组的映射关系，将此数对应的(cnt--)就好了，把答案存一下，逆序输出来即可。
下面是简单的单点修改：

void modify(int k,int x,int y)//现在在k点，目标是将x号搞成y
{
	int mid=(a[k].l+a[k].r)>>1;
	if(a[k].l==a[k].r)//找到目标
	{
		a[k].sum=y;
		return;
	}
	else if(x<=mid) modify(k<<1,x,y);
	else modify(k<<1|1,x,y);
	update(k);//仍然记得更新
}

总的说，这样的复杂度是(O((n+m)log n))的，可以通过此题。
下面放上(AC)代码：

(Code):

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int MAXN=2e5+5;
struct Node
{
	int val,id;
}t[MAXN];
bool cmp(Node n,Node m)
{
	return n.val<m.val;
} 
int b[MAXN],num[MAXN],cnt[MAXN],c=1;//num是hash数组到原数组的映射。
/*num[2]=12,指原数组第二大的值为12*/ 
void hash(int n)
{
	sort(t+1,t+n+1,cmp);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(num[c]!=t[i].val) b[t[i].id]=++c,num[c]=t[i].val;
		else b[t[i].id]=c;
		cnt[c]++;
	}
}
struct node
{
	int l,r,sum,val;
	node()
	{
		l=r=sum=0;
	}
}a[MAXN<<2];
void update(int k){a[k].sum=a[k<<1].sum+a[k<<1|1].sum;}
void build(int k,int l,int r)
{
	a[k].l=l,a[k].r=r;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(l==r)
	{
		a[k].sum=cnt[l];
		return;
	}
	build(k<<1,l,mid),build(k<<1|1,mid+1,r);
	update(k);
}
int query(int k,int x)
{
	if(a[k].l==a[k].r) return num[a[k].l];
	else if(a[k<<1].sum>=x) return query(k<<1,x);
	else return query(k<<1|1,x-a[k<<1].sum); 
}
void modify(int k,int x,int y)
{
	int mid=(a[k].l+a[k].r)>>1;
	if(a[k].l==a[k].r)
	{
		a[k].sum=y;
		return;
	}
	else if(x<=mid) modify(k<<1,x,y);
	else modify(k<<1|1,x,y);
	update(k);
}
int n,m,l[MAXN],now,ans[MAXN];
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	now=m;
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&t[i].val),t[i].id=i;
	for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&l[i]);
	hash(n);
	build(1,1,c);
	for(int i=n;i>=1;i--)
	{
		while(i==l[now]) ans[now]=query(1,now),now--;//此时有询问，查询第now小值，并更新now
		,modify(1,b[i],--cnt[b[i]]);//将数对应的点权值减一
	}
	for(int i=1;i<=m;i++) printf("%d
",ans[i]);//将存储的答案输出
	return 0; 
}

这个版本的权值线段树会跑(900;ms)，翻翻记录，还挺快呢。