六、(本题10分) 设 $M_n(K)$ 为数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵全体构成的线性空间, $A,Bin M_n(K)$, $M_n(K)$ 上的线性变换 $varphi$ 定义为 $varphi(X)=AXB$. 证明: $varphi$ 是幂零线性变换 (存在正整数 $k$, 使得 $varphi^k=0$) 的充要条件为 $A,B$ 中至少有一个是幂零阵.
充分性 不妨设 $A$ 为幂零阵, 即存在正整数 $k$, 使得 $A^k=0$, 则 $varphi^k(X)=A^kXB^k=0$, 即 $varphi^k=0$.
必要性 我们来证必要性的逆否命题 (或者用反证法也可以), 设 $A,B$ 都不是幂零阵, 即对任意给定的正整数 $k$, $A^k eq 0$, $B^k eq 0$. 下面用四种方法来证明, 其中第四种是高代 II 的方法.
方法一 (基础矩阵和标准单位向量) 不妨设 $A^k$ 的第 $i$ 列非零, $B^k$ 的第 $j$ 行非零, 即有列向量 $A^ke_i eq 0$, 行向量 $e_j'B^k eq 0$, 其中 $e_i=(0,cdots,1,cdots,0)'$ 是标准单位列向量, 于是 $$varphi^k(E_{ij})=A^kE_{ij}B^k=A^ke_ie_j'B^k=(A^ke_i)(e_j'B^k) eq 0,$$ 即 $varphi^k eq 0$ 对任意的正整数 $k$ 都成立.
方法二 (相抵标准型) 设 $P_i,Q_i$ 为非异阵, 使得 $A^k=P_1mathrm{diag}{I_r,0}Q_1$, $B^k=P_2mathrm{diag}{I_s,0}Q_2$, 不妨设 $rgeq sgeq 1$, 于是 $$varphi^k(Q_1^{-1}P_2^{-1})=A^kQ_1^{-1}P_2^{-1}B^k=P_1mathrm{diag}{I_r,0}mathrm{diag}{I_s,0}Q_2=P_1mathrm{diag}{I_s,0}Q_2 eq 0,$$ 即 $varphi^k eq 0$ 对任意的正整数 $k$ 都成立.
方法三 (表示矩阵) 取 ${E_{ij},\,1leq i,jleq n}$ 为 $M_n(K)$ 的一组基, 则由白皮书的例 6.71 的证明过程可知, $varphi^k$ 在这组基下的表示矩阵为 Kronecker 积 $A^kotimes (B^k)'$. 根据矩阵 Kronecker 积的定义 (参考白皮书的 2.2.11 节), 由 $A^k eq 0$ 和 $B^k eq 0$ 一定可以推出 $A^kotimes (B^k)' eq 0$, 从而 $varphi^k eq 0$ 对任意的正整数 $k$ 都成立.
方法四 (特征值) 引用一个高代 II 中常见的结论: 方阵 $A$ 或线性变换 $varphi$ 是幂零的当且仅当 $A$ 或 $varphi$ 的特征值全为零. 由于 $A,B$ 都不是幂零阵, 故 $A$ 的特征值 $lambda_1,cdots,lambda_n$ 不全为零, $B$ 的特征值 $mu_1,cdots,mu_n$ 不全为零. 由白皮书的例 6.71 可知, $varphi$ 的特征值 ${lambda_imu_j,\,1leq i,jleq n}$ 必不全为零, 从而 $varphi$ 不是幂零线性变换. $Box$
注 本题做对的同学共有33人 (得分为8分及以上), 名单如下:
方法1：王熙元、朱柏青、郭宇城、钟函廷、乔嘉玮、疏源源、段蕴珊、李子靖、赵涵洋、朱越峰、陈域、王子聪、李翊瑄
方法2：尚振航、刘宇其、戴逸翔、沈家乐、刘俊晨、史书珣、王语姗、詹远瞩、高怡雯、童梓轩、郑书涵、熊子恺、曹烁、崔镇涛、张雷、吴汉、方博越、李鹏程、王成文健、王丽蓓