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  • 四元数

    作者:Yang Eninala
    链接:http://www.zhihu.com/question/23005815/answer/33971127
    来源:知乎
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    最近在使用九轴陀螺仪,里面有加速度 角速度  磁场 四元数等。百度查了下四元数,特此记录一下。

    根据我的理解,大多数人用汉密尔顿四元数就只是做三维空间的旋转变换(我反正没见过其他用法)。那么你不用学群论,甚至不用复习线性代数,看我下面的几张图就可以了。

    首先,定义一个你需要做的旋转。旋转轴为向量v=(vx,vy,vz),旋转角度为	heta (右手法则的旋转)。如下图所示:
    此图中v=(frac{1}{sqrt{14} } ,frac{2}{sqrt{14} } ,frac{3}{sqrt{14} }),	heta =frac{pi }{3}

    那么与此相对应的四元数(下三行式子都是一个意思,只是不同的表达形式)
    q=(cos(frac{	heta }{2} ),sin(frac{	heta }{2} )*vx,sin(frac{	heta }{2} )*vy,sin(frac{	heta }{2} )*vz)
    q=(cos(frac{pi }{6} ),sin(frac{pi }{6} )*frac{1}{sqrt{14} } ,sin(frac{pi }{6} )*frac{2}{sqrt{14} },sin(frac{pi }{6} )*frac{3}{sqrt{14} })
    q=cos(frac{pi }{6} )+sin(frac{pi }{6} )*frac{1}{sqrt{14} }i +sin(frac{pi }{6} )*frac{2}{sqrt{14} }j+sin(frac{pi }{6} )*frac{3}{sqrt{14} }k

    这时它的共轭(下三行式子都是一个意思,只是不同的表达形式),
    q^{-1} =(cos(frac{	heta }{2} ),-sin(frac{	heta }{2} )*vx,-sin(frac{	heta }{2} )*vy,-sin(frac{	heta }{2} )*vz)
    q^{-1} =(cos(frac{pi }{6} ),-sin(frac{pi }{6} )*frac{1}{sqrt{14} } ,-sin(frac{pi }{6} )*frac{2}{sqrt{14} },-sin(frac{pi }{6} )*frac{3}{sqrt{14} })
    q^{-1} =cos(frac{pi }{6} )-sin(frac{pi }{6} )*frac{1}{sqrt{14} }i -sin(frac{pi }{6} )*frac{2}{sqrt{14} }j-sin(frac{pi }{6} )*frac{3}{sqrt{14} }k

    如果你想算一个点w=(wx,wy,wz)在这个旋转下新的坐标w^{'} ,需要进行如下操作,
    1.定义纯四元数
    qw=(0,wx,wy,wz)=0+wx*i+wy*j+wz*k
    2.进行四元数运算
    qw^{'} =q*qw*q^{-1}
    3.产生的qw^{'} 一定是纯四元数,也就是说它的第一项为0,有如下形式:
    qw^{'} =(0,wx^{'},wy^{'},wz^{'})=0+wx^{'}*i+wy^{'}*j+wz^{'}*k
    4.qw^{'}中的后三项(wx^{'},wy^{'},wz^{'})就是w^{'}
    w^{'} =(wx^{'},wy^{'},wz^{'})
    这样,就完成了一次四元数旋转运算。

    同理,如果你有一个四元数:
    q=(q1,q2,q3,q4)=(cos(frac{	heta }{2} ),sin(frac{	heta }{2} )*vx,sin(frac{	heta }{2} )*vy,sin(frac{	heta }{2} )*vz)
    那么,它对应一个以向量v=(vx,vy,vz)为轴旋转	heta 角度的旋转操作(右手法则的旋转)。

    ***********************************************************************************************************
    如果你想对四元数有着更深入的了解,请往下看。

    四元数由汉密尔顿发明,这一发明起源于十九世纪的某一天。在这一天早上,汉密尔顿下楼吃早饭。这时他的儿子问他,“爸爸,我们能够对三元数组(triplet,可以理解为三维向量)做乘法运算么?”汉密尔顿说“不行,我只能加减它们。”

    这时来自21世纪的旁白旁先生说,“大家快来看十九世纪的数学家有多二,连内积和外积都不是知道。”

    十九世纪的汉密尔顿也许确实不知道内积和外积,但是他知道,他想要的三维向量乘法要比内积和外积运算“高大上”很多。这一乘法运算要满足下列四条性质:
    1.运算产生的结果也要是三维向量
    2.存在一个元运算,任何三维向量进行元运算的结果就是其本身
    3.对于任何一个运算,都存在一个逆运算,这两个运算的积是元运算
    4.运算满足结合律

    换而言之,汉密尔顿想定义的不是一个简单的映射关系,而是一个群!(后来我们知道四元数所在群为S3,而四元数所代表的三维旋转是SO(3),前者是后者的两倍覆盖)内积连性质1都不满足,外积不满足性质3。

    汉密尔顿先生就这么被自己儿子提出的问题难倒了。经历了无数个日日夜夜,他绞尽脑汁也没想明白这个问题。终于有一天(1843年的一天),汉密尔顿先生终于意识到了,自己所需要的运算在三维空间中是不可能实现的,但在四维空间中是可以的,他是如此的兴奋,以至于把四元数的公式刻在了爱尔兰的一座桥上。

    旁白:“WTF,我让你讲三维物体的旋转,你给我扯到四维空间上去。”

    (不加说明,以下所说四元数全为单位四元数)
    其实,四元数有四个变量,完全可以被看作一个四维向量。单位四元数(norm=1)则存在于四维空间的一个球面上。q_{a}q_{b},四元数q_{a}乘以四元数q_{b}其实看作(1)对q_{a}进行q_{b}左旋转,或者(2)对q_{b}进行q_{a}右旋转。所以从始至终,四元数定义的都是四维旋转,而不是三维旋转!任意的四维旋转都可以唯一的拆分为一个左旋转和一个右旋转,表达出来就是q_{_{L}}pq_{_{R}}。这里,我们对四元数(四维向量)p进行了一个q_{_{L}}左旋转和一个q_{_{R}}右旋转。结果当然是一个四元数,符合性质1。这个运算也同时符合性质2,3,4。

    好了,说完了四维旋转,我们终于可以说说三维旋转了。说白了,三维旋转就是四维旋转的一个特例,就像二维旋转是三维旋转的一个特例一样。说是特例其实不准确,准确的说是一个子集或者subgroup。为了进行三维旋转运算,汉密尔顿首先在四维空间里划出了一块三维空间。汉密尔顿定义了一种纯四元数(pure quaternion),其表达式为qw=(0,wx,wy,wz)。纯四元数第一项为零,它存在于四维空间的三维超平面上,与三维空间中的三维向量一一对应。然后,就有了我们常见的q*qw*q^{-1}  这种左乘单位四元数,右乘其共轭的表达式。我真心不知道汉密尔顿是怎么想出来的,不过回过头来看,这个运算形式是为了限制其运算结果所在的空间。简单的说,当对一个三维向量进行三维旋转后,我们希望得到的是一个三维向量。(如果你真能得到一个四维向量,就不敢自己在家转圈圈了吧,转着转着,就进入四次元了!)那么这个左乘单位四元数,右乘其共轭的运算保证了结果是一个在三维超平面上中的纯四元数。

    把左乘和右乘表达为矩阵形式会让我们看的更清楚一些。依照qw的定义,q*qw*q^{-1}  的矩阵形式为
    left[
  egin{array}{ c c c c}
1 & 0 & 0 & 0\
    0 & q_{1}^2+q_{2}^2-q_{3}^2-q_{4}^2 & 2q_{2}q_{3}-2q_{1}q_{4}         & 2q_{2}q_{4}+2q_{1}q_{3}         \
  0&    2q_{2}q_{3}+2q_{1}q_{4}         & q_{1}^2-q_{2}^2+q_{3}^2-q_{4}^2 & 2q_{3}q_{4}-2q_{1}q_{2}         \
   0 &  2q_{2}q_{4}-2q_{1}q_{3}         & 2q_{3}q_{4}+2q_{1}q_{2}         & q_{1}^2-q_{2}^2-q_{3}^2+q_{4}^2
  end{array} 
ight]
left[
  egin{array}{ c }
0\ wx\ wy\ wz
  end{array} 
ight]
    很明显,前面的矩阵虽然是一个4x4的四维旋转矩阵,但是它只是在右下角3x3的区域内和一个单位矩阵有所不同。所以说,它是一个限制在三维超平面上的四维旋转。如果表达式右边不是共轭,而是任意四元数,那么我们所作的就是一个很普通的四维旋转。如果只是左乘一个单位四元数,右边什么都不乘,那么我们得到的是四维旋转的一个子集,这个子集并不能保证结果限制在三维超平面上。如果只右乘,不左乘也是一样一样的。

    说了这么多,对于坚持到最后的你,上图一幅,以表感谢。

    其实这张图解释了一个长久的疑问。为什么四元数q=(cos(frac{	heta }{2} ),sin(frac{	heta }{2} )*vx,sin(frac{	heta }{2} )*vy,sin(frac{	heta }{2} )*vz)里用的是frac{	heta }{2} 而不是	heta。这是因为q做的就是一个frac{	heta }{2} 的旋转,而q^{-1}也做了一个frac{	heta }{2} 的旋转。我们进行了两次旋转,而不是一次,这两次旋转的结果是一个旋转角为	heta的旋转。
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