设(lim_{n→∞}x_n=A,y_n=frac{1}{n}(x_1+x_2+.....+x_n)，证明lim_{n→∞}y_n=A)
对于任意给定的ξ＞0，存在正整数N，使得(|x_n-A|＜ξ)，∀n＞N
则(|y_n-A|=frac{1}{n}|(x_1-A)+(x_2-A)+.....+(x_N-A)+(x_{N+1}-A)+.....+x_n)|)
(≤frac{1}{n}∑_{k=1}^N|x_k-A|+frac{n-N}{n}ξ)
(＜ξ+frac{1}{n}∑_{k=1}^N|x_k-A|，∀n＞N)
设(y_n的上极限为x_n，下极限为b_n)
令n→∞，对上述不等式取上极限，得(lim_{n→∞}a_n≤ξ)
由ξ的任意性可知(lim_{n→∞}a_n=0)
由(|y_n-A|)为非负数列，(lim_{n→∞}b_n≥0)
所以(0≤lim_{n→∞}b_n≤lim_{n→∞}a_n=0)
即(lim_{n→∞}b_n=lim_{n→∞}a_n=0，所以lim_{n→∞}y_n=A)