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6.Python3标准库--数学运算

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作为一种通用的变成语言，Python经常用来解决数学问题。它包含一些用于管理整数和浮点数的内置类型，这很适合完成一般应用中可能出现的基本数学运算。
而标准库中包含一些用于满足更高级需求的模块。
Python的内置浮点数在底层C语言中是double类型，对于大多数数学运算需求的程序来说，这已经足够精确。
但是如果需要非整数值更为精确的表示，那么decimal和fractions模块会很有用。小数和分数值的算术运算可以保证精度，但是不如原生float的运算速度快
 
random模块则包含了一个均匀分布的伪随机数生成器，还提供了一些函数用于模拟很多常用的非均匀分布
 
math模块则包含一些高级数学函数的快速实现，如对数、三角函数。这个模块对原生平台C库中常见的IEEE函数提供了全面的补充
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（一）decimal：定点数和浮点数的数学运算

1.Decimal

import decimal
'''
小数值被表示为Decimal类的实例。
构造函数取一个整数或字符串作为参数。
在使用浮点数创建Decimal之前，可以先将浮点数转换为一个字符串，以使调用者能够显示地处理值的位数，因为如果使用硬件浮点数表示则可能无法准确的描述。
或者，类方法from_float可以把一个浮点数转换为精确的小数表示
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print(f"{'input':<25} {'output':<25}")
print("-"*25, "-"*25)
 
# integer
print(f"{5:<25} {decimal.Decimal(5):<25}")
# string
print(f"{'3.14':<25} {decimal.Decimal('3.14'):<25}")
# float
 
print(f"{3.14:<25} {decimal.Decimal.from_float(3.14)}")
'''
input                     output                  
------------------------- -------------------------
5                         5                       
3.14                      3.14                    
3.14                      3.140000000000000124344978758017532527446746826171875
'''
 
 
# Decimal还可以使用元组创建，但是不太方面，这里不推荐了。

2.格式化

import decimal
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Decimal对应Python的字符串格式化协议，使用与其他数值类型一样的语法和选项
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d = decimal.Decimal(1.1)
print(f"{d:.1f}")  # 1.1
print(f"{d:.2f}")  # 1.10
print(f"{d:.10f}")  # 1.1000000000

3.算术运算

import decimal
'''
Decimal重载了简单的算术操作符，所以可以采用与内置数值类型相同的方法来处理Decimal实例
'''
a = decimal.Decimal("5.1")
b = decimal.Decimal("3.14")
c = 4
d = 3.14
print(repr(a))  # Decimal('5.1')
print(repr(b))  # Decimal('3.14')
print(repr(c))  # 4
print(repr(d))  # 3.14
 
print(f"a+b = {a+b}")  # a+b = 8.24
print(f"a-b = {a-b}")  # a-b = 1.96
print(f"a*b = {a*b}")  # a*b = 16.014
print(f"a/b = {a/b}")  # a/b = 1.624203821656050955414012739
# 对Decimal实例进行运算，得到的仍是一个Decimal对象
print(type(a*b))  # <class 'decimal.Decimal'>
 
 
try:
    a + d
except TypeError as e:
    print(e)  # unsupported operand type(s) for +: 'decimal.Decimal' and 'float'

4.特殊值

import decimal
'''
除了期望的特殊值，Decimal还可以表示很多特殊值，包括正负无穷大值、不是一个数(NAN)和0
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for value in ["Infinity", "NAN", "0"]:
    print(decimal.Decimal(value), decimal.Decimal("-"+value))
    '''
    Infinity -Infinity
    NaN -NaN
    0 -0
    '''
 
 
print("Infinity+1：", decimal.Decimal("Infinity")+1)  # Infinity+1： Infinity
print("-Infinity+1：", decimal.Decimal("-Infinity")+1)  # -Infinity+1： -Infinity
 
print(decimal.Decimal("NAN") == decimal.Decimal("Infinity"))  # False
print(decimal.Decimal("NAN") != decimal.Decimal("Infinity"))  # True
'''
与无穷大值相加减总会返回无穷大值，与NAN比较相等性总会返回False，比较不等性则返回True。
与NAN比较大小来确定排序是未定义的，这回导致一个错误
'''
 
 
# 除此之外math和numpy当中也有这种功能
import math, numpy as np
print(math.inf, math.nan)  # inf nan
print(np.inf, np.nan)  # inf nan
 
print(math.inf == math.inf, math.inf is math.inf)  # True True
# 可以看到nan有点特殊，即便是同一个对象is成立，但是==不成立。
print(math.nan == math.nan, math.nan is math.nan)  # False True

（二）fractions：有理数

'''
Fraction类基于numbers模块中Rational定义的API来实现有理数的数值运算
'''

1.创建Fraction实例

import fractions
'''
与decimal模块类似，可以采用多种方式创建新值。一种简便的方式是由单独的分子和分母值来创建
'''
for n, d in [(1, 2), (2, 4), (3, 6)]:
    f = fractions.Fraction(n, d)
    print(f"{n} / {d} = {f}")
    '''
    1 / 2 = 1/2
    2 / 4 = 1/2
    3 / 6 = 1/2
    '''
 
# 还可以使用字符串方式来创建
# 会自动解析这个字符串，找出分子和分母值
for s in ["1/2", "2/4", "3/6"]:
    f = fractions.Fraction(s)
    print(f"{s} = {f}")
    '''
    1/2 = 1/2
    2/4 = 1/2
    3/6 = 1/2
    '''
 
# 字符串还可以使用更常用的小数或浮点数记法，即用一个小数点分隔的一系列数字。能够由float()解析而且不表示NAN或者无穷大值的所有字符串都支持
for s in ["0.5", "1.5", "2.0", "5e-3"]:
    f = fractions.Fraction(s)
    print(f"{s} = {f}")
    '''
    0.5 = 1/2
    1.5 = 3/2
    2.0 = 2
    5e-3 = 1/200
    '''
 
 
# 此外还可以使用Decimal类创建
import decimal
values = [
    decimal.Decimal("0.1"),
    decimal.Decimal("0.5"),
    decimal.Decimal("1.5"),
    decimal.Decimal("2.0")
]
for v in values:
    print(f"{v} {fractions.Fraction(v)}")
    '''
    0.1 1/10
    0.5 1/2
    1.5 3/2
    2.0 2
    '''
 
# 此外得到的都是Fraction对象
print(type(fractions.Fraction("0.5")))  # <class 'fractions.Fraction'>

2.算术运算

import fractions
'''
一旦分数被实例化，就可以在数学表达式中使用了
'''
f1 = fractions.Fraction("1/2")
f2 = fractions.Fraction(3, 4)
print(f"{f1} + {f2} = {f1 + f2}")  # 1/2 + 3/4 = 5/4
print(f"{f1} - {f2} = {f1 - f2}")  # 1/2 - 3/4 = -1/4
print(f"{f1} * {f2} = {f1 * f2}")  # 1/2 * 3/4 = 3/8
print(f"{f1} / {f2} = {f1 / f2}")  # 1/2 / 3/4 = 2/3

3.近似值

import fractions
import math
'''
Fraction有一个很有用的特性，即能够将一个浮点数转换为一个近似的有理数值
'''
 
 
f_pi = fractions.Fraction(str(math.pi))
print(f_pi)  # 3141592653589793/1000000000000000
for i in [1, 6, 11, 60, 70, 90, 100]:
    limited = f_pi.limit_denominator(i)
    print(f"{i} {limited}")
    '''
    1 3
    6 19/6
    11 22/7
    60 179/57
    70 201/64
    90 267/85
    100 311/99
    '''

（三）random：伪随机数生成器

'''
random模块基于Mersenne Twister算法提供了一个快速伪随机数生成器。
原先开发这个生成器是为了向蒙特卡洛模拟生成输入，Mersenne Twister算法会生成大周期近均匀分布的数，因此适用于大量不同类型的应用
'''

1.生成随机数

import random
 
'''
random返回一个0到1之间的随机浮点数
'''
print(random.random())  # 0.254811057329168
print(random.random())  # 0.7395548455074491
print(random.random())  # 0.505764048975116
print(random.random())  # 0.4639293410664217
 
 
# random的范围是0到1，如果我想指定范围呢？可以使用uniform，说到uniform，我就想起了uniform temptation。就想起了孙悟空那豹纹小短裙，想起了今年下半年文体两开花
# 生成的规则是 2+(4-2)*random()， min + (max - min)*random()
print(random.uniform(2, 4))  # 3.4563486365870606

2.指定种子

import random
 
'''
每次重复执行的时候，生成的结果都不一样。
因此可以指定种子，只要种子一样，那么每次生成的结果都是一样的
'''
print(random.random())
print(random.random())
'''
$ python 3.random.py
0.6968598797532435
0.5403043133943518
 
$ python 3.random.py
0.7498812800384731
0.08841963718934376
'''
 
# 当我指定种子之后
random.seed(666)
print(random.random())
print(random.random())
'''
$ python 3.random.py
0.45611964897696833
0.9033231539802643
 
$ python 3.random.py
0.45611964897696833
0.9033231539802643
'''
# 可以看到当我重新指定种子的时候，不管执行多少次结果都是一样的

3.保存状态

import random
 
'''
几乎不用
'''

4.随机整数

import random
 
'''
random生成浮点数，可以再转化为整数，不过直接使用randint生成整数会更方便
'''
print(random.randint(1, 3))  # 1
print(random.randint(1, 3))  # 2
print(random.randint(1, 3))  # 3
 
print(random.randint(-5, -3))  # -4
print(random.randint(-5, -3))  # -5
print(random.randint(-5, -3))  # -4
# 可以看到randint接收的值为两个，分别是闭区间的两端。可以是正数也可以是负数，但是左边要小于右边。
 
# 还有一个randrange方法，前两个参数和randint一样，但是randrange还可以接收第三个参数，表示步长
# 从1到8里面随机选择，但是步长为2，也就是说，只可能选到1 4(1+3) 7(1+3+3)这三个值
# 注意，如果不指定第三个参数，那么步长默认为1，并且是不包含右短点的。也就是说，即便步长为1，也是不可能随机到8这个数的
print(random.randrange(1, 8, 3))  # 4
print(random.randrange(1, 8, 3))  # 7
print(random.randrange(1, 8, 3))  # 1

5.选择随机元素

import random
 
'''
随机数生成器有一种常见用法，即从一个枚举值序列中选择元素，即使这些值并不是数字。
random模块包含一个choice函数，可以从一个序列中随机选择。
'''
girls = ["mashiro", "satori"]
print(random.choice(girls))  # mashiro
 
 
# 此外我们还可以验证大数定理
'''
大数定理：用个人的大白话解释，就是我们知道一个事物出现的概率是固定的，比如说等于A，但是由于次数较少，可能会出现不同的结果。但是随着实验次数的增加，比例越来越趋近A
 
就拿抛硬币来说，出现正面的概率是0.5，这是肯定的。但是由于我们只抛了3次，恰好都是正面或者都是反面，所以概率就变成1或者0了。
但是随着次数的增加，比如我抛个十万次，那么最终出现正面和出现反面的次数都是接近5万次的，也就是说出现的几率应该越来越趋近于0.5
'''
outcomes = {"正面": 0, "反面": 0}
sides = list(outcomes.keys())
 
for i in range(1, 201):
    outcomes[random.choice(sides)] += 1
    if i % 10 == 0:
        print(f"抛了{i}次之后--》")
        print(f"出现正面的次数：{outcomes['正面']}，对应比率：{outcomes['正面'] / (outcomes['正面'] + outcomes['反面'])}")
        print(f"出现反面的次数：{outcomes['反面']}，对应比率：{outcomes['反面'] / (outcomes['正面'] + outcomes['反面'])}")
        print("-"*20)
'''
抛了10次之后--》
出现正面的次数：6，对应比率：0.6
出现反面的次数：4，对应比率：0.4
--------------------
抛了20次之后--》
出现正面的次数：12，对应比率：0.6
出现反面的次数：8，对应比率：0.4
--------------------
抛了30次之后--》
出现正面的次数：15，对应比率：0.5
出现反面的次数：15，对应比率：0.5
--------------------
抛了40次之后--》
出现正面的次数：22，对应比率：0.55
出现反面的次数：18，对应比率：0.45
--------------------
抛了50次之后--》
出现正面的次数：27，对应比率：0.54
出现反面的次数：23，对应比率：0.46
--------------------
抛了60次之后--》
出现正面的次数：31，对应比率：0.5166666666666667
出现反面的次数：29，对应比率：0.48333333333333334
--------------------
抛了70次之后--》
出现正面的次数：36，对应比率：0.5142857142857142
出现反面的次数：34，对应比率：0.4857142857142857
--------------------
抛了80次之后--》
出现正面的次数：39，对应比率：0.4875
出现反面的次数：41，对应比率：0.5125
--------------------
抛了90次之后--》
出现正面的次数：48，对应比率：0.5333333333333333
出现反面的次数：42，对应比率：0.4666666666666667
--------------------
抛了100次之后--》
出现正面的次数：52，对应比率：0.52
出现反面的次数：48，对应比率：0.48
--------------------
抛了110次之后--》
出现正面的次数：59，对应比率：0.5363636363636364
出现反面的次数：51，对应比率：0.4636363636363636
--------------------
抛了120次之后--》
出现正面的次数：63，对应比率：0.525
出现反面的次数：57，对应比率：0.475
--------------------
抛了130次之后--》
出现正面的次数：66，对应比率：0.5076923076923077
出现反面的次数：64，对应比率：0.49230769230769234
--------------------
抛了140次之后--》
出现正面的次数：69，对应比率：0.4928571428571429
出现反面的次数：71，对应比率：0.5071428571428571
--------------------
抛了150次之后--》
出现正面的次数：75，对应比率：0.5
出现反面的次数：75，对应比率：0.5
--------------------
抛了160次之后--》
出现正面的次数：79，对应比率：0.49375
出现反面的次数：81，对应比率：0.50625
--------------------
抛了170次之后--》
出现正面的次数：85，对应比率：0.5
出现反面的次数：85，对应比率：0.5
--------------------
抛了180次之后--》
出现正面的次数：88，对应比率：0.4888888888888889
出现反面的次数：92，对应比率：0.5111111111111111
--------------------
抛了190次之后--》
出现正面的次数：94，对应比率：0.49473684210526314
出现反面的次数：96，对应比率：0.5052631578947369
--------------------
抛了200次之后--》
出现正面的次数：100，对应比率：0.5
出现反面的次数：100，对应比率：0.5
--------------------
'''
# 可以看到正反面出现了次数越来越接近，最后一次居然整好一边一半，真给面子

6.排列

import random
 
'''
shuffle，英文有洗牌的意思，顾名思义，就是讲一个序列进行打乱操作。
'''
l = list(range(20))
random.shuffle(l)
# 这个函数是没有返回值的，实在序列本身上进行操作的
print(l)  # [17, 11, 8, 13, 6, 7, 19, 1, 15, 9, 12, 4, 3, 0, 18, 2, 10, 5, 16, 14]
 
try:
    t = (1, 2, 3, 4, 5)
    print(random.shuffle(t))
except TypeError as e:
    print(e)  # 'tuple' object does not support item assignment
# 可以看到由于元组是不可修改的，但shuffle又是在对象本身上进行操作，因此结果是会报错的

7.采样

import random
 
'''
很多模拟需要从大量输入值中得到随机样本，sample函数可以生成无重复值得同样本，并且不会修改原来的序列。
'''
l = list(range(100))
# 接收两个参数，第一个是序列，第二个是选择的样本个数。
# 样本的个数不可以超过序列里面元素的个数
print(random.sample(l, 10))  # [13, 98, 18, 62, 75, 43, 32, 15, 10, 83]

8.多个并发生成器

import random
 
'''
除了模块级函数，rnadom还包括一个Random类以管理多个随机数生成器的内部状态。
之前介绍的所有函数都可以作为Random实例的方法得到，并且每个实例都可以被单独初始化和使用，而不会干扰到其他实例返回的值
'''
r1 = random.Random()
r2 = random.Random()
for _ in range(3):
    print(f"{r1.random():.3f} {r2.random():.3f}")
'''
0.201 0.076
0.954 0.065
0.742 0.544
'''
 
r3 = random.Random(100)
r4 = random.Random(100)
for _ in range(3):
    print(f"{r3.random():.3f} {r4.random():.3f}")
'''
0.146 0.146
0.455 0.455
0.771 0.771
'''

9.SystemRandom

import random
 
'''
有些操作系统提供了一个随机数生成器，可以访问更多能引入生成器的信息源。
random通过SystemRandom类提供了这个特性，该类与Random的API相同，只不过是使用os.urandom()生成值，该值会构成所有其他算法的基础
'''
 
r1 = random.SystemRandom()
r2 = random.SystemRandom()
for _ in range(3):
    print(f"{r1.random():.3f} {r2.random():.3f}")
'''
0.497 0.360
0.304 0.208
0.158 0.568
'''
 
 
r3 = random.SystemRandom(1000)
r4 = random.SystemRandom(1000)
for _ in range(3):
    print(f"{r3.random():.3f} {r4.random():.3f}")
'''
0.725 0.532
0.030 0.489
0.457 0.165
'''
 
# 可以看到即便设置了随机种子，也是不管用的，因为其随机性来自系统，而不是来自软件状态。
 
 
# 顺便看看os.urandom()是个什么东西
import os
# 传入一个整数，返回包含相应整数个数的bytes对象
print(os.urandom(20))  # b"xb4xe8xc9xe0'x1cxe8hxfagx19xc8xb8xb4xc3KXJ!x14"

（四）math：数学函数

import math
 
'''
math模块实现了正常情况下原生平台C库中才有的很多专用IEEE函数，可以使用浮点值完成复杂的数学运算，包括对数和三角函数运算
'''

1.特殊常量

import math
 
'''
很多数学运算依赖于一些特殊的常量。math包含有pi、e、nan(不是一个数)和infinity(无穷大)的值
'''
print(math.pi)  # 3.141592653589793
print(math.e)  # 2.718281828459045
print(math.nan)  # nan
print(math.inf)  # inf
# pi和e的精度仅受平台的浮点数C库限制

2.测试异常值

import math
 
'''
浮点数计算可能会导致两种类型的异常值。第一种是inf(无穷大)，当用double存储一个浮点值，而该值会从一个具有很大绝对值的值上溢出时，就会出现这个异常值
'''
print(f"{'e':^3} {'x':^6} {'x**2':^6} {'isinf':^6}")
print(f"{'':-^3} {'':-^6} {'':-^6} {'':-^6}")
for e in range(0, 201, 20):
    x = 10.0 ** e
    y = x * x
    print(f"{e:>3} {x:<6g} {y:<6g} {bool(math.isinf(y))}")
'''
 e    x     x**2  isinf
--- ------ ------ ------
  0 1      1      False
 20 1e+20  1e+40  False
 40 1e+40  1e+80  False
 60 1e+60  1e+120 False
 80 1e+80  1e+160 False
100 1e+100 1e+200 False
120 1e+120 1e+240 False
140 1e+140 1e+280 False
160 1e+160 inf    True
180 1e+180 inf    True
200 1e+200 inf    True
'''
# 当这个例子中的指数变得足够大时，x的平方无法再存放于一个double中，这个就会被记录为无穷大
# 不过，并不是所有浮点数都会导致inf值。具体地，用浮点值计算一个指数时，会生成OverFlowError而不是保留inf结果
try:
    10.0 ** 400
except OverflowError as e:
    print(e)  # (34, 'Result too large')
# 这种差异是由C和Python所用库中的实现差别造成的。
 
# 无穷大值得除法运算未定义。将一个数除以无穷大值的结果是nan(不是一个数)
x = 10.0**200 * 10.0**200
y = x / x
print("x =", x)  # x = inf
print("isnan(x) =", math.isnan(x))  # isnan(x) = False
print("y =", y)  # y = nan
print("isnan(y) =", math.isnan(y))  # isnan(y) = True
'''
x是无穷大，由于无穷大的除法未定义，那么即使是x/x，得到的也并不是1，而是nan
注意：nan不等于任何值，甚至也不等于它自身，所以要检查nan，要使用isnan()
'''
print(y == math.nan)  # False
print(y is math.nan)  # False
print(math.nan == math.nan)  # False
print(math.nan is math.nan)  # True
print(y == y)  # False
print(y is y)  # True
'''
因此nan还是比较特殊的，即使同一个nan也不相等，但使用is会打印True，表示是同一个对象。
但是y和math.nan虽然都是nan，但是是不同的nan，因此==和is都返回True
'''
# 因此最好使用math.isnan
print(math.isnan(y))  # True
# 再来看看numpy和pandas
import numpy as np
import pandas as pd
# 可以看到依旧返回True
print(math.isnan(np.nan))  # True
print(np.isnan(math.nan))  # True
print(np.isnan(y))  # True
print(pd.isna(np.nan))  # True
print(pd.isna(math.nan))  # True
# 因此使用isnan函数来对nan判断最为合适
 
 
# 此外还有一个isfinite函数检查是普通的值还是inf或者nan
# infinity表示无穷，那么finite表示有穷。isfinite表示是否有穷，是不是一个有限的数字
# inf肯定不是了，至于nan，它根本就不是一个数字，当然更不是了。
# 所以isfinite(inf)和isfinite(nan)返回False，其它的返回True
print(math.isfinite(x))  # False
print(np.isfinite(x))  # False
print(math.isfinite(100))  # True
print(np.isfinite(100))  # True

3.比较

import math
 
'''
浮点数的比较容易出错，每一个计算都可能由于数值表示而引入误差。
isclose函数使用一种稳定的算法来尽可能的减少这种误差，同时完成绝对比较和相对比较
'''
a = 1.1
b = 1.21
# 首先isclose函数的前两个参数是要比较的两个数字，后面的两个参数一个是rel_tol,一个是abs_tol
# 先来看看abs_tol，tol表示tolerate容忍，表示能容忍的最大极限。举个栗子
print(math.isclose(a, b, abs_tol=0.2))  # True
print(math.isclose(a, b, abs_tol=0.1))  # False
'''
asb_tol=0.2：表示我最多能容忍a和b之前差0.2，小于等于0.2，我认为是True，也就是两个数是相等的。超过0.2，不忍了，返回False
而我们的a和b之前差0.11，所以0.2的时候返回True，0.1的时候返回False，因为0.11小于没有超过容忍极限0.2，但超过了容忍极限0.1
'''
# 了解abs_tol那么rel_tol也就好理解了，这个是与a、b的值有关系的
# abs(a - b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)
# 如果不传入abs_tol,那么表示a、b差的绝对值要小于等于a、b之间较大的那个数再乘以rel_tol。
# 如果传入abs_tol，那么再和abs_tol比较，选出较大的做为容差，判断abs(a-b)是否小于等于这个容差
# 因此rel_tol也叫相对容差，abs_tol也叫绝对容差
 
# 如果只传入a、b的话，那么rel_tol默认为1e-9，即只要abs(a-b)小于等于a、b之间绝对值较大的那个数的绝对值再乘上rel_tol，那么结果就认为是True

4.将浮点值转换为整数

import math
 
'''
math模块中有三个函数用于将浮点值转换为整数。这三个函数分别采用不同的方法，适用于不同的场合
最简单的是trunc，其会截断小数点之后的数字，只留下整数部分，说白了和int的作用是一样的。
floor向下取整，2.5--》2
ceil向上取整，2.5--》3
'''
val = 2.85
print(math.trunc(val), type(math.trunc(val)))  # 2 <class 'int'>
print(math.floor(val), type(math.floor(val)))  # 2 <class 'int'>
print(math.ceil(val), type(math.ceil(val)))  # 3 <class 'int'>
# 最后得到的结果都是int类型

5.浮点值的其他表示

import math
 
'''
modf取一个浮点值，并返回一个元组，其中包含这个输入值得小数和整数部分。
注意是小数和整数，不是整数和小数。这与我们平常的思维比较相反，因为我们做除法一般是先得到商，也就是整数部分，然后才得到余数也就是小数部分
'''
# 可以看到，即便传入整数，也会自动地将其转化为浮点数
print(math.modf(10))  # (0.0, 10.0)
 
print(math.modf(2.888431))  # (0.8884310000000002, 2.0)
'''
结果可能不太一样，但这是没办法的事情，不光是Python，所有语言都会存在这个问题。
比如golang，我们用golang的math库，计算直角三角形的边长。两个直角边是3和4，那么求斜边
手动计算，很容易知道是5，但是机器计算的话，那么在golang中有时会得到4.999999，那么取整之后就变成了4。
因此浮点数会有误差，这是无法避免的
'''
 
# frexp返回一个浮点数的位数和指数
'''
什么意思呢？我先拿整数为例子，比如20
先找一个数e，使得2**e > 20并且2**(e-1) < 20, 显然这里e=5，因为2**5=32>20, 2**4=16<20
然后找一个数m，使得m * 2**e=20，这里m=20/ 2** 5 = 20 / 32 = 5/8 = 0.625
返回m和e。
综上所述：frexp(20)-->(0.625, 5)
'''
print(math.frexp(20))  # (0.625, 5)
# ldexp和frexp是一对,返回一个浮点数
# 2**5 * 0.625 = 20.0
print(math.ldexp(0.625, 5))  # 20.0
 
'''
个人不知道，这几个函数会有什么用，反正我是觉得没有什么卵用
'''

6.正号和负号

import math
 
'''
一个数的绝对值就是不带正负号的本值。使用fabs函数可以计算一个浮点数的绝对值
'''
print(math.fabs(-1.1), abs(-1.1))
print(math.fabs(-0.0), abs(-0.0))
print(math.fabs(1.0), abs(1.0))
print(math.fabs(1.1), abs(1.1))
'''
1.1 1.1
0.0 0.0
1.0 1.0
1.1 1.1
'''
# 感觉和abs没有太大区别
 
# copysign表示拷贝符号,copysign(a, b), 将b的符号拷贝到a中
# 注意与a的符号无关，如果b为正，结果相当于abs(a) * 1, 结果b为负，结果相当于abs(a) * -1
print(math.copysign(-1.1, 5))  # 1.1
print(math.copysign(-1.1, -5))  # -1.1

7.常用计算

import math
 
'''
在二进制浮点数内存中表示精确值很有难度。有些值无法准确地表示，而且如果通过反复计算来处理一个值，那么计算越频繁就越容易引入表示误差。
math包含一个函数来计算一系列浮点数的和，它使用一种高效的算法来尽量减少这种误差。
'''
values = [0.1] * 10
s = 0.0
for v in values:
    s += v
print("for-loop:", s)  # for-loop: 0.9999999999999999
print("sum:", sum(values))  # for-loop: 0.9999999999999999
print("fsum:", math.fsum(values))  # fsum: 1.0
# 由于0.1不能精确表示为一个浮点数，因此在计算总和的时候会引入误差，但是可以使用fum来避免这种情况
 
 
# factorial用于计算阶乘
print(math.factorial(5))  # 120
 
# gamma、lgamma不再介绍，感觉没啥用
 
# fmod，之前好像介绍一个modf
print(math.modf(2.2))  # (0.20000000000000018, 2.0)
# 相当于取余，%
print(math.fmod(8, 3))  # 2.0
print(int.__mod__(8, 3))  # 2
 
 
# gca函数，可以用来查找两个数的最大公约数
print(math.gcd(20, 15))  # 5

8.指数和对数

import math
 
'''
指数生长曲线在经济学、物理学和其他科学中经常出现。Python有一个内置的**幂运算符。
不过，如果需要将一个可调用函数作为另一个函数的参数，那么可能需要用到pow
'''
print(2**5, math.pow(2, 5))  # 32 32.0
print(3**4, math.pow(3, 4))  # 81 81.0
 
# 1的任何次幂都返回1.0，任何值得指数为0也返回1.0
# 对于nan，大多数运算返回nan，如果值小于1，那么pow会计算一个根
# 如果指数是1/2，就变成了求平方根，这也有一个专门的函数叫sqrt，因为平方根用的很频繁
print(math.pow(9, 1/2))  # 3.0
print(math.sqrt(9))  # 3.0
# 如果是求负数的平方根，那么会报错，因为涉及到复数，可以使用cmath模块，c：complex
try:
    print(math.sqrt(-9))
except ValueError as e:
    print(e)  # math domain error
import cmath
# cmath和math模块的api基本上是一只的，只不过cmath是用来处理复数的，如果我传入实数呢，比如33，那么会解释器自动在结尾加上0j，变成33+0j，注意在Python中，复数的虚部用j表示，不是i
print(cmath.sqrt(-9))  # 3j
# 那我想手动创建复数怎么办？直接创建就好啦
c = 3 + 4j
print(f"实部：{c.real},虚部:{c.imag},复数本身：{c},共轭复数：{c.conjugate()}")  # 实部：3.0,虚部:4.0,复数本身：(3+4j),共轭复数：(3-4j)
print(f"模：{abs(c)}")  # 模：5.0
 
 
# 对数,log里面接收两个参数，第一个参数传计算的值，表示要计算谁的对数。第二个参数表示底数，以谁为底，如果不传，默认为e
print(math.log(math.e))  # 1.0
print(math.log(9, 3))  # 2.0
print(math.log(0.5, 2))  # -1.0
 
# 对数还有两个常用变形,功能类似，但是会更精确
# log10(x) <===> log(x, 10)
# log2(x) <===> log(x, 2)
print(math.log10(100))  # 2.0
print(math.log2(32))  # 5.0
 
 
# exp,用于计算指数函数,exp(x) <==> e**x
print(math.e ** 2)  # 7.3890560989306495
print(math.pow(math.e, 2))  # 7.3890560989306495
print(math.exp(2))  # 7.38905609893065

9.角

import math
 
'''
尽管我们每天讨论角是更常用的是度，但弧度才是科学和数学领域中度量角度的标准单位。
弧度是在圆心相交的两条线所构成的角，其终点落在圆的圆周上，终点之间相距一个弧度。
圆周长计算为2πr，所以弧度与π之间存在一个关系，要把度转化为弧度，可以使用函数radians
要把弧度转化为度，使用函数degrees
'''
# 在半径为1的情况下，周长是2π，整个圆是360度，所以degree/360 * 2π便是弧度
print(math.radians(180))  # 3.141592653589793
print(math.degrees(math.pi))  # 180.0

10.三角函数

import math
 
'''
概念不介绍了，上过高中应该都会的。
'''
# 注意的是要传入弧度，比如我传入30，那么这里的30是弧度，不是角度，所以结果不是二分之一
print(math.sin(30))  # -0.9880316240928618
print(math.sin(math.pi / 6))  # 0.49999999999999994
 
print(math.cos(0))  # 1.0
print(math.tan(0))  # 0.0
# 可以看做是无穷大
print(math.tan(math.pi / 2))  # 1.633123935319537e+16
 
 
# 已知点(x, y)，那么点[(0, 0), (x, 0), (0, y)]会构成一个直角三角形，求斜边长度，可以使用函数hypot来计算
print(math.hypot(3, 4))  # 5.0
# 这不就是(x**2 + y **2)**(1/2)吗
 
# 除此之外还有反三角函数
print(math.asin(0.5))  # 0.5235987755982989
# 大致结果为π/2
print(math.atan(math.inf))  # 1.5707963267948966

11.双曲函数

12.特殊函数

import math
 
'''
不做介绍，没啥乱用。
真要用的话，可以使用numpy，更牛逼的方法可以使用scipy
'''

（五）statistics：统计计算

''''
statistics模块实现了很多常用的统计公式，允许使用Python的各种数值类型(int, float, Decimal,Fraction)来完成高级计算
'''

1.平均值

import statistics
'''
共支持3种形式的平均值：均值（mean），中值或中位数（median），以及众数（mode）
'''
# 可以使用mean计算算术平均值
data = [1, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6]
print(statistics.mean(data))  # 3.625
# 对于整数和浮点数，返回的总是浮点数，对于Decimal和Fraction，返回的类型和输入的类型相同
 
# 可以使用mode计算一个数据集中的最常见的数据点，也就是众数
print(statistics.mode(data))  # 4
# 由于mode是把输入处理为一个离散值集合，然后统计出现次数，所以对于mode函数来说，输入并不一定非要是数字
print(statistics.mode(["a", "xx", "xx"]))  # xx
 
# 可以使用median计算中位数
'''
如果是序列的个数是奇数，很好办，就是中间的那一个。
但如果个数是偶数，那么中间值会有两个，median会取两者的平均值
除了median还有median_high,median_low，显然这是针对个数是偶数的。median_high会取两者中的较大值，median_low会取两者中的较小值
'''
data = [1, 2, 3, 4]
print(statistics.median(data))  # 2.5
print(statistics.median_high(data))  # 3
print(statistics.median_low(data))  # 2

2.方差

import statistics
'''
统计使用两个值来描述一个集合相对于均值的离散程度。
方差：各个值与平均值之差的平方的平均。
标准差：方差的平方根。
如果方差大：说明数据集不稳定，离散程度高。
如果方差小：说明数据集稳定，离散程度低
显然：[1, 10]的方差要大于[2, 9]大于[5, 6]
'''
 
data = [4, 5, 3, 3, 4, 2, 5, 6]
print(statistics.variance(data))  # 1.7142857142857142
print(statistics.stdev(data))  # 1.3093073414159542

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